1)Áp dụng bđt AM-GM:

\(2\left(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\left(ab+\frac{a}{b}\right)+\left(ab+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2\left(a+b+1\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1."="\Leftrightarrow a=b=1\)

2) Áp dụng bđt AM-GM ta có: \(a+\frac{1}{a-1}=a-1+1+\frac{1}{a-1}\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=3\)

\("="\Leftrightarrow a=2\)

3) Áp dụng bđt AM-GM:

\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)=\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\right)+\left(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)+\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

Cộng theo vế và rg => ddpcm. Dấu bằng khi a=b=c

\(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(VT\ge\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}=\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)+\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(VT\ge\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}+\frac{4}{2a+b+c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

BĐT svac

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)

bài 1

<=> \(\frac{bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}\)

sử dụng tiếp cauchy sharws

Bài 2: đặt a=x/y, b=y/x, c=z/x

a/ \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

b/Đặt biểu thức vế trái là Q

\(\frac{1}{a+b+1+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+1}\right)+\frac{1}{12}\)

Thiết lập tương tự và cộng lại:

\(Q\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\right)+\frac{1}{4}\)

Xét \(P=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\)

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+1}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+1}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+1}\)

\(P\le\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{xyz}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)

\(P\le\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1\)

\(\Rightarrow Q\le\frac{1}{4}.1+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Đây là một bài dùng bất đẳng thức Côsi dạng ngược dấu khá cơ bản. Có thể search GG để tìm cách giải bài này.

a/ Biến đổi tương đương:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)

\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)

\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) \(\left(ĐK:a>0;b>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (BĐT luôn đúng)

Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{2^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)

                                                  đpcm

Tham khảo nhé~

Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)

Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)

Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.

Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.

Bài 3: Nó sao sao ấy ta?