\(222^{777}=2^{777}.111^{777}=\left(2^7\right)^{111}.111^{777}=128^{111}.111^{777}\)

\(777^{222}=7^{222}.111^{222}=\left(7^2\right)^{111}.111^{222}=49^{111}.111^{222}\)

Vì \(128^{111}.111^{777}>49^{111}.111^{222}\) nên \(222^{777}>777^{222}\)

333^⁷⁷⁷ > 777^333

b, 2^222> 22^22

a) Ta có: 333⁷⁷⁷ = 333^111.7 = (777³)¹¹¹

777³³³ = 777^111.3  = (777³)¹¹¹

Vì 777³<333⁷ nên (777³)¹¹¹ < (777³)¹¹¹

Vậy 333^{777 >} 777³³³

b) Ta có: 2²²² = 2^2.111 =(2¹¹¹)²

22²² = 22^11.2 = (22¹¹)² 

Vì 2¹¹¹ > 22¹¹ nên (2¹¹¹)² > (22¹¹)² 

a) 333⁷⁷⁷ > 777³³³

b) 2²²² > 22²²

222⁷⁷⁷ và 777²²²

222⁷⁷⁷ = ( 222⁷ )¹¹¹

777²²² = ( 777² )¹¹¹

Vì 222⁷ > 777² nên ( 777² )¹¹¹ < ( 222⁷ )¹¹¹

Vậy 222⁷⁷⁷ > 777²²² 

Ta có : \(222^{777}=\left(222^7\right)^{111}\)

            \(777^{222}=\left(777^2\right)^{111}\)

      So sánh : \(222^7;777^2\)

      Lại có : \(222^7=\left(111.2\right)^7=111^7.2^7=111^7.128\)

                  \(777^2=\left(111.7\right)^2=111^2.7^2=111^2.49\)

         Ta thấy : \(111^7.128>111^2.49\Rightarrow222^7>777^2\)

         Nên  : \(222^{777}>777^{222}\)

         Nếu thấy cách làm đúng thì TK mình nhé !

222⁷⁷⁷  < 777²²²

Ta có:
\(222^{777}=111^{777}\cdot2^{777}\)            \(\left(1\right)\)
\(777^{222}=111^{222}.7^{222}\)              \(\left(2\right)\)
Ta lại có:
\(2^{777}=\left(2^7\right)^{111}=128^{111}\)         \(\left(3\right)\)
\(7^{222}=\left(7^2\right)^{111}=49^{111}\)           \(\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\)
\(\Rightarrow222^{777}>777^{222}\)

222^777 = (2 . 111) ^777 = 2^777 . 111^777 
= (2^7)^111 . (111^7)^111 

777^222. = (7 . 111)^222 = 7^222 . 111^222 
= (7^2)^111 . (111^2)^111 

So sánh ta thấy: 

2^7 > 7^2 
111^7 > 111^2 

==> (2^7)^111 . (111^7)^111 > (7^2)^111 . (111^2)^111 
==> 222^777 > 777^222 

Ta có : 222^777=(2.111)^7.111=128^111.(111^7)^111

            777^222=(7.111)^2.111=49^111.(111^2)^111

Vì 128^111>49^111

     (111^7)^111>(111^2)^111

=>222^777>777^222

1. Đặt A = 1 + 5² + 5⁴ + ... + 5^200 

Ta có: 5²A = 5² +  5⁴ +  5⁶ + ... + 5^202

25A - A = (5² + 5⁴ + ... + 5²⁰²) - (1 + 5² + ... + 5²⁰⁰)

24A = 5²⁰² - 1     =>    A = (5²⁰² - 1) : 24 

2. Ta có : 777²²² = (777²)¹¹¹

                222⁷⁷⁷= (222⁷)¹¹¹¹¹

Vì 777² < 222⁷ => (222⁷)¹¹¹ > (777²)¹¹¹ 

    =>  222⁷⁷⁷ > 777²²²