kho qua ha

Lời giải:

1.

$\widehat{MDC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Leftrightarrow \widehat{BDC}=90^0$

Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên là tgnt.

Do $ABCD$ nội tiếp nên $\widehat{BCA}=\widehat{BDA}$

Mà $\widehat{BDA}=\widehat{MCS}$ (do $MDSC$ nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{BCA}=\widehat{MCS}$

$\Rightarrow CA$ là phân giác $\widehat{BCS}$

2.

Gọi $T$ là giao điểm của $BA$ và $EM$

Xét tam giác $BTC$ có $TE\perp BC$ (do $\widehat{MEC}=90^0$) và $CA\perp BT$ và $TE, CA$ giao nhau tại $M$ nên $M$ là trực tâm tam giác $BTC$

$\Rightarrow BM\perp TC$.

Mà $BM\perp DC$ nên $TC\parallel DC$ hay $T,D,C$ thẳng hàng

Do đó $BA, EM, DC$ đồng quy tại $T$

3.

Vì $ABCD$ nt nên $\widehat{MAD}=\widehat{CAD}=\widehat{DBC}=\widehat{MBE}$

Dễ cm $BAME$ nội tiếp cho $\widehat{A}+\widehat{E}=90^0+90^0=180^0$ nên $\widehat{MBE}=\widehat{EAM}$

Do đó: $\widehat{MAD}=\widehat{EAM}$ nên $AM$ là tia phân giác $\widehat{EAM}(*)$

Mặt khác:

Cũng do $MECD,ABCD$ nội tiếp nên:

$\widehat{ADM}=\widehat{ADB}=\widehat{ACB}=\widehat{MCE}=\widehat{MDE}$

$\Rightarrow DM$ là tia phân giác $\widehat{ADE}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow M$ là tâm đường tròn nội tiếp $ADE$.

Hình vẽ:

#)Giải :

Có \(\widehat{AMB}=90^o\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  

\(\Rightarrow\widehat{OMA}+\widehat{OMT}=\widehat{AMB}=90^o\)

MF là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow\widehat{OMF}=90^o\Rightarrow\widehat{OMT}+\widehat{TMF}=\widehat{OMF}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{OMA}=\widehat{TMF}\left(1\right)\)

Dễ c/m \(\Delta BAM~\Delta BOT\Rightarrow\left(g.g\right)\widehat{OAM}=\widehat{OTB}\)

Mà \(\widehat{OCB}=\widehat{MTF}\left(đđ\right)\Rightarrow\widehat{OAM}=\widehat{MTF}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta OMA~\Delta FMT\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{MA}{MT}=\frac{OA}{OF}\Rightarrow MA.FT=OA.MT\)

b) Có \(\Delta OMA~\Delta FMT\left(cmt\right)\)

Mà \(\Delta OMA\) cân tại O

\(\Rightarrow\Delta FMT\) cân tại F

\(\Rightarrow FM=FT\) (cặp cạnh t/ứng = nhau)

Lại có \(\Delta TME\) vuông tại M \(\Rightarrow FM=FE\)

c) Dễ c/m được TA = TB

Mà \(\Delta MTE~\Delta OTB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{ME}{OB}=\frac{TE}{TB}\Rightarrow ME.TB=OB.TE\Rightarrow ME.TA=2R^2\left(TE=2MF=2R\right)\)