góc BIH=90 độ-góc IBH=90 độ-1/2*góc B

góc CID=góc IAC+góc ICA=90 độ-1/2*góc B

=>góc BIH=góc CID

vẽ hình cko mik vs nka ^^

Xét tam giác ADM và tam giác ADC, có:

^DAM = ^ DAC ( gt )

AM = AC ( gt )

AD: cạnh chung

Vậy tam giác ADM = tam giác ADC ( c.g.c )

Xét tam giác ADB và tam giác ADC, có:

\(\widehat{DAB}=\widehat{DAC}\left(gt\right)\)

\(AB>AC\) ( gt ) \(\Rightarrow\widehat{C}>\widehat{B}\)

\(\Rightarrow\widehat{ADC}< \widehat{ADB}\) hay \(\widehat{ADB}>\widehat{ADC}\)

Xét ΔABC có \(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0\)

=>\(\widehat{BAC}+45^0+105^0=180^0\)

=>\(\widehat{BAC}=30^0\)

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=15^0\)

Xét ΔADB có \(\widehat{BAD}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180^0\)

=>\(\widehat{ADB}=180^0-15^0-45^0=120^0\)

Xét ΔADB có

\(\dfrac{AB}{sinADB}=\dfrac{AD}{sinB}\)

=>\(\dfrac{AB}{sin120}=\dfrac{4}{sin45}=4:\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\)

=>\(AB=2\sqrt{6}\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AB}{sinC}=2R\)

=>\(2R=\dfrac{2\sqrt{6}}{sin105}=12-4\sqrt{3}\)

=>\(R=6-2\sqrt{3}\)

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(BC\)không chứa \(A\)lấy tia \(Cx\)sao cho \(\widehat{BAD}=\widehat{BCx}\).

Kéo dài \(AD\)cắt \(Cx\)tại \(E\).

Xét \(\Delta DAB\)và \(\Delta DCE\)có:

\(\widehat{ADB}=\widehat{CDE}\)(vì đối đỉnh).

\(\widehat{BAD}=\widehat{BCE}\)(hình vẽ trên).

\(\Rightarrow\Delta DAB~\Delta DCE\left(g.g\right)\).

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CED}\)(2 góc tương ứng).

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CEA}\)

Và \(\frac{AD}{CD}=\frac{DB}{DE}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow AD.DE=BD.CD\)\(\left(1\right)\).
Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta EAC\)có:

\(\widehat{BAD}=\widehat{EAC}\)(giả thiết).

\(\widehat{ABD}=\widehat{AEC}\)(chứng minh trên).

\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta EAC\left(g.g\right)\).

\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AE}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow AD.AE=AB.AC\)\(\left(2\right)\).

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\).

\(\Rightarrow AD.AE-AD.DE=AB.AC-BD.CD\).

\(\Rightarrow AD\left(AE-DE\right)=AB.AC-BD.CD\).

\(\Rightarrow AD.AD=AB.AC-BD.CD\).

\(\Rightarrow AD^2=AB.AC-BD.CD\)(điều phải chứng minh).

a, Vì AD là phân giác nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\Rightarrow\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{AB}\)

Theo tc dãy tỉ số bằng nhau 

\(\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{AB}=\frac{BC}{AB+AC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\Rightarrow DC=6cm;DB=4cm\)

Lại còn phải cm định lý à, xem lại lớp 7. Trong tam giác, 3 đường cao của tam giác cùng đi qua 1 điểm

Mình biết rồi. Nhưng giờ phải chứng minh giao điểm H của các đường cao của tam giác ABC giao điểm là đường phân giác trong của tam giác DEF. Bạn đọc lại đề đi.