a) Các tam giác DBA và tam giác EAC vuông cân nên \(\widehat{ABD}=\widehat{DAB}=45^o,\widehat{CAE}=\widehat{ECA}=45^o\).
\(\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=45^o+90^o+45^o=180^o\).
Suy ra D, A, E thẳng hàng.
b) Có M là trung điểm của BC và tam giác BAC vuông tại A nên MA = MB = MC.
Suy ra \(\Delta DBM=\Delta DAM\left(c.c.c\right)\). Vì vậy \(\widehat{BDM}=\widehat{ADM}\) hay DM là tia phân giác góc ADB.
mà tam giác BDA cân tại D nên DM cũng là đường cao hay \(DM\perp AB\).
Tương tự cho \(EM\perp AC\).
c) Theo chứng minh trên DM là tia phân giá góc ADB nên \(\widehat{BDM}=\widehat{MDA}=45^o\). Tương tự \(\widehat{AEK}=\widehat{KEC}=45^o\).
Vì vậy ta, giác DME vuông cân.
d) Do các tam giác ADB và tam giác AEC cân và DF và EK là đường cao tương ứng nên DF và EK cũng là các đường trung tuyến.
Vì vậy F và K lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Từ đó suy ra FK là đường trung bình của tam giác BAC hay \(FK=\frac{1}{2}BC\).

 

tại sao ma=mb=mc

a) Xét \(\Delta ABC\)và\(\Delta ADE\):

AB=AD(gt)

\(\widehat{BAC}=\widehat{DAE}=90^o\)

AC=AE(gt)

=> \(\Delta ABC=\Delta ADE\left(c-g-c\right)\)

=> BC=DE ( 2 cạnh tương ứng)

=> Đpcm

b) Ta có \(\Delta ABD\)vuông cân tại A

=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ADB}=\frac{\widehat{DAB}}{2}=\frac{90^o}{2}=45^o\)

\(\Delta AEC\)vuông cân tại A

=> \(\widehat{AEC}=\widehat{ACE}=\frac{\widehat{EAC}}{2}=\frac{90^o}{2}=45^o\)

=> \(\widehat{BDA}=\widehat{ECA}=45^o\)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> BD//CE

=> Đpcm

c) Sửa đề: Kẻ dường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại M. Vẽ đường thẳng qua A và vuông góc với MC cắt BC tại N. Chứng minh rằng CA vuông góc với NM

Gọi giao điể của NA và MC là I

Xét \(\Delta NMC\)có:

\(\hept{\begin{cases}NI\perp MC\\MH\perp NC\end{cases}}\)

Mà 2 đường cao này cắt nhau tại A

=> A là trực tâm của \(\Delta MNC\)

=> \(CA\perp NM\)

=> Đpcm

d) Ta có: \(\widehat{ADM}=\widehat{ABC}\left(\Delta ADE=\Delta ABC\right)\)

=> \(\widehat{ADM}+\widehat{AED}=\widehat{ABC}+\widehat{BAH}=90^o\)

=> \(\widehat{AED}=\widehat{BAH}\) Mà \(\widehat{BAH}=\widehat{MAE}\left(đđ\right)\)

=> \(\widehat{AED}=\widehat{MAE}\)

=> \(\Delta MAE\)cân tại M

=> MA=ME (1)

Lại có: \(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{AED}+\widehat{ADE}=\widehat{ACB}+\widehat{CAH}=90^o\)

=> \(\widehat{ADE}=\widehat{CAH}\)

Mà \(\widehat{CAH}=\widehat{DAM}\left(đđ\right)\)

=> \(\widehat{ADE}=\widehat{DAM}\)

=> \(\Delta DAM\)cân tại M

=> MD=MA (2)

Từ (1) và (2)

=> MA=MD=ME

=> \(MA=\frac{1}{2}DE\)

=> Đpcm

P/s: Thật ra định làm tắt cho bạn tự suy luận, nhưng sợ bạn ko hiểu nên thoi, mỏi cả tay:>>>