Cho đường tròn (O:R) đường kính AB . Hai dây AD và BC cắt nhau tại E trong (O) . Kẻ EF⊥AB tại F . Chứng minh
1) AE.AD = AF.AB
2) AE.AD +BE . BC = 4R2
cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây cung AD và BC cắt nhau tại E (E nằm trong đường tròn ).
chứng minh: AE.AD+BE.BC= 4R2
kẻ đường cao AH
xét tam giác AEH và tam giác ABD, ta có:
góc DAB là góc chung
góc AHE=ADB (góc ADB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn=90 độ, EH là đường cao)
=> tam giác AEH đồng dạng với tam giác ABD (g-g)
=>AE/AB=AH/AD =>AE.AD=AB.AH (1)
Xét tam giác EBH và ABC, ta có:
góc ABC CHUNG
GÓC EHB=ACB (Tương tự như trên)
=> tam giác EBH đồng dạng ABC (g-g)
=>BE/BH=AB/BC =>BE.BC=BH.AB(2)
Cộng vế theo vế (1)và (2), ta có:
AE.AD+BE.BC=AB.AH+BH.AB
<=>AE.AD+BE.BC=AB(AH+BH)
<=>AE.AD+BE.BC=AB.AB
<=>AE.AD+BE.BC=AB^2 (3)
Mà AB=2R
=>AB^2=4R^2 (4)
Thế (3) vào (4), ta có:
AE.AD+BE.BC=4R^ (ĐPCM)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R với đường kính AB, hai dây AD & BC cắt nhau ở E nằm trong đường tròn
C/mR : AE.AD+BE.BC=4xR^2
http://olm.vn/hoi-dap/question/74826.html
Cho đường tròn (O) . Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB và AC( B,C là các tiếp điểm). H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh AO vuông góc với BC tại H.
b) từ điểm B Vẽ đường kính BD của đường tròn tâm O. Đường thẳng AD cắt đường tròn tâm O tại E( E khác D)
Chứng minh AE.AD=AH.AO
c) qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AD tại K cắt BC tại F. Chứng minh FD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn này. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a. Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.
b. Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn(O) tại E (E khác D). Chứng minh: AE.AD = AC^2
c. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường BC tại F. Chứng minh rằng FD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 6: Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Vẽ hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm trong đường tròn.
a. Chứng minh rằng: EA.ED = EB.EC.
b. Chứng minh rằng: AE.AD + BE.BC không đổi.
Đề bài chắc là: Vẽ hai dây AD và BC cắt nhau ở E. Lời giải như sau:
a. Do AB là đường kính nên các góc ACB, ADB vuông. Xét hai tam giác vuông ACE và BDE có \(\angle AEC=\angle BED\) (đối đỉnh), do đó \(\Delta ACE\sim\Delta BDE\) (g.g). Vậy \(\frac{AE}{BE}=\frac{CE}{DE}\to EA\cdot ED=EB\cdot EC.\)
b. Kẻ đường vuông góc \(EH\) với \(AB.\) Khi đó \(H\) thuộc đoạn thẳng \(AB.\)
Ta có \(\Delta AEH\sim\Delta ABD\left(g.g.\right)\to\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}\to AE\cdot AD=AB\cdot AH.\)
Tương tư, \(\Delta BEH\sim\Delta BAC\left(g.g\right)\to\frac{BE}{BA}=\frac{BH}{BC}\to BE\cdot BC=BA\cdot BH.\)
Cộng hai đẳng thức lại ta được, \(AE\cdot AD+BE\cdot BC=AB\cdot AH+AB\cdot BH=AB\left(AH+BH\right)=AB^2.\) Suy ra
\(AE\cdot AD+BE\cdot BC=AB^2\) không đổi. (ĐPCM)
(Quảng Ninh - 2020)
Cho đường tròn $(O; R)$ và $A$ là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ điểm $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B$ và $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$. Kẻ đường kính $BD$ của đường tròn $(O)$, $AD$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $E$.
a. Chứng minh $ABOC$ là tứ giác nội tiếp.
b. Tính độ dài $AH$, biết $R = 3$cm, $AB = 4$cm.
c. Chứng minh $AE.AD = AH.AO$.
d. Tia $CE$ cắt $AH$ tại $F$. Chứng tỏ $F$ là trung điểm của $AH$.
a. Ta có: \(\Lambda\)ABO=90 ( do AB là tiếp tuyến của (O))
\(\Lambda\)ACO=90 ( do AC là tiếp tuyến của (O))
\(\Rightarrow\) \(\Lambda\)ABO + \(\Lambda\)ACO = 90 + 90 = 180.
Suy ra: tứ giác ABOC nội tiếp.
b. Ta có: AB,AC lần lượt là tiếp tuyến của (O) nên AB=AC.
\(\Rightarrow\)\(\Delta\)ABC cân tại A lại có AH là tia phân giác nên AH cũng là đường cao
\(\Rightarrow\)AO\(\perp\)BC tại H.
Áp dụng đinh lý Py-ta-go vào \(\Delta\)ABO ta có:
AO2 = AB2 + BO2 = 42 + 32 = 25
\(\Rightarrow\)AO = 5 (cm).
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABO ta được:
AB2 = AH.AO \(\Rightarrow\) AH = \(\dfrac{AB^2}{AO}\)=\(\dfrac{16}{5}\)(cm)
c. Ta có: \(\Lambda\)ACE=\(\Lambda\)ADC ( tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung )
Xét \(\Delta\)ACE và \(\Delta\)ADC có:
\(\Lambda ACE=\Lambda ADC\)
\(\Lambda\)CAD chung
Do đó: \(\Delta ACE\sim\Delta ADC\) \(\Rightarrow\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AE}{AC}\) \(\Rightarrow\)AC2 = AD.AE (1)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ACO có:
AC2 = AH.AO (2)
Từ (1) và (2) ,suy ra: AD.AE = AH.AO.
a)Ta có:\(\widehat{ABO};\widehat{ACO}\) lần lượt là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{ABO=}\widehat{ACO}=90^{ }\)
\(\Rightarrow\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90+90=180\)
Mà hai góc này đối nhau nên tứ giác ABOC nội tiếb)
b)Theo a) ta có:\(\widehat{ABO}=90\)⇒▲ABO là tam giác vuông tại B đường cao AH.
Áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông ABO đường cao AH ta có:
\(AO^2=AB^2+BO^2=4^2+3^2=25\)
\(\Rightarrow\sqrt{AO}=5\) cm.
Áp dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong ▲vuông ABO ta có:
\(AB^2=AH\cdot AO\)
\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB^2^{ }}{AO}=\dfrac{4^2^{ }}{5}=\dfrac{16}{5}\)
Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B,C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC
a) Cm: AO vuông góc với BC tại H
b) Vẽ đường kính BD của (O), cm: DC song song AO
c) AD cắt (O) tại E (E khác D). CM AE.AD=AH.AO
d) Qua vẽ đường thẳng vuông góc với AB. Đường thẳng này cắt OC tại F. CM: OA^2 = 2OC.OF
Cho đường tròn tâm O và cột điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O . Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn tâm O (B và C là hai tiếp điểm) . Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a)Chứng minh OA vuông góc với BC tại H
b) Từ B vẽ đường kính BD cua (O), đường thẳng AD cắt (O) tại E ( khác D)
Chứng minh: AE.AD=AH.AO
c) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường BC tai F. Chứng minh FD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
Bài 5 (3,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, vẽ bán kính OC vuông góc với AB. Trên cung BC lấy điểm D (D khác B và C), tia AD cắt OC tại E.
a. Chứng minh tứ giác OBDE là tứ giác nội tiếp
b. Chứng minh: AE.AD = AC
c. Kẻ El vuông góc với BC tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE . Giúp mình câu c vs ạ!!!
a: góc ADB=1/2*180=90 độ
góc EOB+góc EDB=180 độ
=>EOBD nội tiếp
b: Xét ΔACE và ΔADC có
góc ACE=góc ADC
góc CAE chung
=>ΔACE đồng dạng với ΔADC
=>AC^2=AE*AD
c: góc EIB=góc EDB=90 độ
=>EIDB nội tiếp
=>góc IED=góc IBD; góc IDE=góc IBE
góc IBE+góc OBE=góc IBO=45 độ
ΔEAB cân tại E
=>góc EAB=góc EBA
=>góc IBE+góc EAB=45 độ
góc IDE=góc IBE
=>góc IDE+1/2*sđ cung BD=45 độ
1/2*sđ cung BC=1/2*sđ cung CD+1/2*sđ cung DB
=>góc IED+1/2*sđ cung BD=45 độ
=>góc IDE=góc IED
=>ID=IE
góc ICE=45 độ; góc EIC=90 độ
=>ΔEIC vuôngcân tại I
=>IE=IC=ID
=>ĐPCM