Bài 4:

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P là số lẻ

hay P-1 và P+1 là các số chẵn

\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮8\)

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P=3k+1(k∈N) hoặc P=3k+2(k∈N)

Thay P=3k+1 vào (P-1)(P+1), ta được:

\(\left(3k-1+1\right)\left(3k+1+1\right)=3k\cdot\left(3k+2\right)⋮3\)(1)

Thay P=3k+2 vào (P-1)(P+1), ta được:

\(\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)⋮3\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮3\)

mà \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮8\)

và (3;8)=1

nên \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮24\)(đpcm)

p>3 => p có dạng 3k+1; 3k+2

p = 3k+1 => 2p+7 = 2(3k+1) +7= 6k+2+7 = 6k+9 chia hết cho 3 (thỏa mãn)

p = 3k+2=> 2p+7 = 2(3k+2)+ 7 = 6k+4+7= 6k+11 (loại)

Vậy 2p+7 là hợp số

hợp số

Ta cho p = 3 để thử các phép tính trên 

p là số nguyên tố 

2p + 1 = 7 là số nguyên tố 

4p + 1 = 13 là số nguyên tố 

b: Gọi d=UCLN(2n+1;3n+1)

\(\Leftrightarrow3\left(2n+1\right)-2\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

=>d=1

=>UC(2n+1;3n+1)={1;-1}

c: Gọi d=UCLN(75n+6;8n+7)

\(\Leftrightarrow8\left(5n+6\right)-5\left(8n+7\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow d=13\)

=>UC(5n+6;8n+7)={1;-1;13;-13}

Cac Snt >3 deu co dang 6k+1;6k+2;6k+3;6k+4;6k+5

Neu p=6k+2 thi chia het cho 2

Neu p= 6k+3thi chia het cho 3

Neu p =6k+4 thi chia het cho 2

Vay p chi co the =6k+1 hoac 6k+5

Nếu p = 2

=> p + 3 = 5 (tm)

p + 5 = 7 (tm) 

Nếu p > 2 => p = 2k + 1 

Khi đó p + 3 = 2k + 1 + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2) \(⋮\)2 => loại

Vậy p = 2 là giá trị cần tìm

nếu p=2 thì p+2=2+2=4 ;p+4=2+4=6 (loại do 4 và 6 là hợp số)

nếu p=3 thì p+2= 3+2=5 ; p+4=3+4=7 ( đều là số nguyên tố)

xét p>3 có p= 3k + 1 hoặc p= 3k+2

với p = 3k + 1 thì p +2= 3k+1+2=3k+3=3.(k +1) chia hết cho 3

với p=3k+2 thì p+4 =3k+2+4= 3k +6 =3.(k+2) chia hết cho 3

vậy p=3 thỏa mãn yêu cầu đề bài

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số nguyên tố lẻ

=> Tổng p+2021 là số chẵn

Mà p+2021>2 nên p+2021 là hợp số

Vậy p+2021 là họp số.