Cho nửa đường tròn (O) bán kính AB = 2R, M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn. (M khác A,B). Kẻ 2 tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By tại C và D.
Tìm vị trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất?
cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB =2R và K là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn ( K khác A và B). kẻ hai tiếp tuyến Ax và By tại M với nửa đường tròn . Qua K kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại M và H. a/cm: MH=AM+BH và AK//OH b/ cm: AM.BH=R2 c / đường thẳng AB và MH cắt nhau tại E.cm:ME.HK=MK.HE
Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB = 2R , M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn ( M ≠ A ; B ). Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn . Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại C và D
a) Chứng minh : CD = AC + BD và góc COD = 90 độ
c) OC cắt AM tại R , OD cắt BM tại F . Chứng minh EF = R
d) Tìm vị trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất
a: Xét (O) có
CM,CA là tiếp tuyến
nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)
mà OM=OA
nên OC là trung trực của AM
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)
mà OM=OB
nên OD là trung trực của BM
Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ
c: Xét tứ giác MEOF có
góc MEO=góc MFO=góc EOF=90 độ
nên MEOF là hình chữ nhật
=>EF=MO=R
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. M tùy ý trên (O), M khác A; B. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax, By tại C, D
a) C/m: CD = AC + BD;
b) AC.BD không đổi
c) OC cắt AM tại E; OD cắt BM tại F. C/m: EF = R
d) Tìm vị trí của M để tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nhất
e) Tìm vị trí của M để tam giác MAB có chu vi lớn nhất. Tính chu vi theo R
Cho nữa đường tròn tâm O , đường kính AB=2R , M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn ( M: ≠ A ; B) . Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn . Q ua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại C và D.
a, Chứng minh : CD = AC +BD và góc COD = 90 độ .
b, Chứng minh : AC.BD=R^2 .
Anh em giúp mình với mai mình kiểm tra rồi nhé.
C, OC cắt AM tại E , OD cắt BM tại F . Chứng minh : EF = R.
Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB=2R , M là một điểm tùy ý nửa đường tròn ( M khác A;B ) . Kẻ hai tia tuyến Ax và By với đường tròn .Qua M kẻ tia tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và B tại C và D .
a, Chứng minh : CD =AC +BD và góc COD =90 độ.
b, Chứng minh : AC BD=R^2
C,OC cắt AM tại E ,OD cắt BM tại F . Chứng minh : EF=R
a) Xét (O) có
CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
Do đó: CM=CA(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: DM=DB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: CM+DM=CD(M nằm giữa C và D)
mà CM=CA(cmt)
và DM=DB(cmt)
nên CD=AC+BD(đpcm)
Xét (O) có
CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
hay \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{BOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
hay \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{DOM}\)
Ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)(cmt)
và \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{DOM}\)(cmt)
nên \(2\cdot\widehat{COM}+2\cdot\widehat{DOM}=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{COM}+\widehat{DOM}=90^0\)
hay \(\widehat{COD}=90^0\)
Vậy: \(\widehat{COD}=90^0\)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao ứng với cạnh huyền CD, ta được:
\(CM\cdot MD=OM^2\)
\(\Leftrightarrow CA\cdot BD=OM^2\)
mà OM=R
nên \(AC\cdot BD=R^2\)(đpcm)
c) Ta có: CA=CM(cmt)
nên C nằm trên đường trung trực của AM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OA=OM(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của AM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Ta có: DM=DB(cmt)
nên D nằm trên đường trung trực của BM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: OM=OB(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của BM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AM
hay OC⊥AM
mà OC cắt AM tại E(gt)
nên OC⊥AM tại E
hay \(\widehat{OEM}=90^0\)
Từ (3) và (4) suy ra OD là đường trung trực của MB
hay OD⊥MB
mà OD cắt MB tại F(gt)
nên OD⊥MB tại F
hay \(\widehat{OFM}=90^0\)
Xét tứ giác EMFO có
\(\widehat{OFM}=90^0\)(cmt)
\(\widehat{OEM}=90^0\)(cmt)
\(\widehat{EOF}=90^0\)(cmt)
Do đó: EMFO là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒EF=MO(Hai đường chéo của hình chữ nhật EMFO)
mà MO=R(gt)
nên EF=R(đpcm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R . Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By (Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn(M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D.
Chứng minh rằng
Chứng minh 4 điểm B,D,M,O nằm trên cùng một đường tròn, chỉ ra bán kính của đường tròn đó.
Chứng minh CD=AC+BD
Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
Gọi giao điểm AD và BC là N. Chứng minh MN//AC
b: Xét (O) có
CM là tiếp tuyến
CA là tiếp tuyến
Do đó: CM=CA
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến
DB là tiếp tuyến
Do đó: DM=DB
Ta có: CM+MD=CD
nên CD=AC+BD
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R . Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By (Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn(M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D.
Chứng minh rằng
a) chứng minh COD = 90 độ
b) Chứng minh 4 điểm B,D,M,O nằm trên cùng một đường tròn, chỉ ra bán kính của đường tròn đó.
c) Chứng minh CD=AC+BD
d) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
e) chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
f) Gọi giao điểm AD và BC là N. Chứng minh MN//AC
a: Xét (O) có
CM,CA là tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là phân giác của \(\widehat{AOM}\)
OC là phân giác của \(\widehat{AOM}\)
nên \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOC}\)
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
DO đó: DM=DB và OD là phân giác của \(\widehat{MOB}\)
Ta có: OD là phân giác của \(\widehat{MOB}\)
=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)
Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)
=>\(\widehat{COD}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
b: Xét tứ giác BDMO có
\(\widehat{OMD}+\widehat{OBD}=90^0+90^0=180^0\)
=>BDMO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OD
=>B,D,M,O cùng nằm trên đường tròn đường kính OD
Bán kính là \(R'=\dfrac{OD}{2}\)
c: Ta có: CD=CM+MD
mà CM=CA
và DM=DB
nên CD=CA+DB
d,e: Gọi N là trung điểm của CD
Xét hình thang ABDC có
O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD
=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC
=>ON//AC//BD
Ta có: ON//AC
AC\(\perp\)AB
Do đó: ON\(\perp\)AB
Ta có: ΔCOD vuông tại O
=>ΔCDO nội tiếp đường tròn đường kính CD
=>ΔCOD nội tiếp (N)
Xét (N) có
NO là bán kính
AB\(\perp\)NO tại O
Do đó: AB là tiếp tuyến của (N)
hay AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD(ĐPCM)
f: Xét ΔNCA và ΔNBD có
\(\widehat{NCA}=\widehat{NBD}\)(hai góc so le trong, AC//BD)
\(\widehat{CNA}=\widehat{BND}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔNCA đồng dạng với ΔNBD
=>\(\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{NA}{ND}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CM}{MD}\)
Xét ΔDCA có \(\dfrac{NA}{ND}=\dfrac{CM}{MD}\)
nên MN//AC
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By với (O) (Ax, By nằm cùng phía đối với nửa đường tròn (O)). Gọi M là 1 điểm trên đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng: 1) Chứng minh Góc COD bằng 90° 2) Chứng minh 4 điểm B, D, M, O thuộc 1 đường tròn 3) Chứng minh CD = AC + BD 4) Chứng minh Tích AC.BD không đổi khi M chuyển động trên nửa đường tròn (O) 5) Chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn đường kính CD 6) Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: MN // AC
2: Xét tứ giác BDMO có
\(\widehat{DBO}+\widehat{DMO}=180^0\)
Do đó: BDMO là tứ giác nội tiếp