Tìm số nguyên dương n sao cho \(C_{2n+1}^1-2.2.C_{2n+1}^2+3.2^2.C_{2n+1}^3-...+\left(2n+1\right).2^{2n}.C_{2n+1}^{2n+1}=2019\)
Tìm n biết n thỏa mãn: \(C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^n=2^{20}-1\)
Ta có : \(C^k_{2n+1}=C^{2n+1-k}_{2n+1}\)
\(\Rightarrow2VT=C^1_{2n+1}+C^2_{2n+1}+...+C^{2n}_{2n+1}=2^{21}-2\)
\(\Leftrightarrow2^{2n+1}-C^0_{2n+1}-C^{2n+1}_{2n+1}=2^{21}-2\)
\(\Leftrightarrow2n+1=21\Leftrightarrow n=10\)
\(\sum\limits^{2n+1}_{k=0}C^k_{2n+1}=\left(1+1\right)^{2n+1}=2^{2n+1}\)
Lại có \(C^0_{2n+1}+C^1_{2n+1}+...+C^n_{2n+1}=C^{2n+1}_{2n+1}+C^{2n}_{2n+1}+...+C^{n+1}_{2n+1}\)
\(\Rightarrow C^0_{2n+1}+C^1_{2n+1}+...C^n_{2n+1}=\dfrac{2^{2n+1}}{2}\)
\(\Leftrightarrow2^{20}-1=2^{2n}-C^0_{2n+1}\)
\(\Leftrightarrow2^{20}-1=2^{2n}-1\)
\(\Leftrightarrow2n=20\)
\(\Leftrightarrow n=10\)
Tìm hệ số của x10 trong khai triển (2+3x)n biết n thõa : \(C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+..........+C^{2n}_{2n+1}=2^{10}-1\)
Xét khai triển
\(\left(x+1\right)^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1x+...+C_{2n+1}^{2n}x^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}x^{2n+1}\)
Cho \(x=1\) ta được:
\(2^{2n+1}=C^0_{2n+1}+C_{2n+1}^1+...+C_{2n+1}^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}\)
\(\Leftrightarrow2^{2n+1}=2+C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^{2n}\)
\(\Leftrightarrow2^{2n+1}-2=C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^{2n}\)
\(\Leftrightarrow2^{10}-1=2^{2n+1}-2\Rightarrow2^{2n+1}=2^{10}+1\)
Không tồn tại n thỏa mãn yêu cầu bài toán (bạn xem lại đề bài)
\(\left(C_n^0\right)^2+\left(C_n^1\right)^2+...+\left(C_n^n\right)^2=C_{2n}^n\)
Giả sử có 1 nhóm người gồm 2n người, trong đó có n nam và n nữ.
Chọn n người từ 2n người đó, ta thực hiện theo 2 cách:
- Cách 1: chọn bất kì, có \(C_{2n}^n\) cách (1)
- Cách 2: giả sử trong n người được chọn có k nữ và \(n-k\) nam
Chọn k nữ từ n nữ, có \(C_n^k\) cách
Chọn \(n-k\) nam từ n nam, có \(C_n^{n-k}\) cách
Số cách thỏa mãn: \(\sum\limits^n_{k=0}C_n^kC_n^{n-k}=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kC_n^k=\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2\) (2)
(1); (2) \(\Rightarrow\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2=C_{2n}^n\)
Tính tổng biểu thức sau: (sử dụng đẳng thức Niutơn)
A= \(C_{2n}^2\)+ \(C_{2n}^4\)+ \(C_{2n}^6\)+....+ \(C_{2n}^{2n}\)
tìm hệ số x6 trong khai triển (x2-x-1)n thành đa thức. Trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn: \(C_{2n+1}^1+C^2_{2n+1}+...+C^n_{2n+1}=2^{20}-1\)
chỉ mk cách làm với @Nguyễn Việt Lâm
Xét khai triển:
\(\left(x+1\right)^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1x+C_{2n+1}^2x^2+...+C_{2n+1}^{2n+1}x^{2n+1}\)
Cho \(x=1\) ta được:
\(2^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^{2n+1}\)
\(=1+C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^n+C_{2n+1}^{n+1}+...+C_{2n+1}^{2n}+1\)
\(=1+C_{2n+1}^1+...+C_{2n+1}^n+C_{2n+1}^n+...+C_{2n+1}^1+1\)
\(=2\left(1+C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^n\right)\)
\(\Rightarrow2^{2n}-1=C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^n\)
\(\Rightarrow2^{2n-1}=2^{20}-1\Rightarrow2n=20\Rightarrow n=10\)
Khai triển: \(\left(x^2-x-1\right)^{10}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_1+k_2=10\\k_1+2k_2=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(k_0;k_1;k_2\right)=\left(4;6;0\right);\left(5;4;1\right);\left(6;2;2\right);\left(7;0;3\right)\)
Hệ số của \(x^6:\)
\(\frac{10!}{4!.6!}+\frac{10!}{5!.4!}.\left(-1\right)^5+\frac{10!}{6!.2!.2!}+\frac{10!}{7!.3!}.\left(-1\right)^7\)
Chứng minh rằng :
\(C_{2n}^0+C^2_{2n}+...+C^{2n}_{2n}=C^1_{2n}+C^3_{2n}+...+C^{2n-1}_{2n}\)
Xét khai triển:
\(\left(x-1\right)^{2n}=C_{2n}^0-C_{2n}^1x+C_{2n}^2x^2-C_{2n}^3x^3+...-C_{2n}^{2n-1}x^{2n-1}+C_{2n}^{2n}x^{2n}\)
Thay \(x=1\) ta được:
\(0=C_{2n}^0-C_{2n}^1+C_{2n}^2-C_{2n}^3+..-C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}\)
\(\Leftrightarrow C_{2n}^0+C_{2n}^2+...+C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+...+C_{2n}^{2n-1}\)
Bài 1:Trong mặt phẳng với hệ toạ độác đường thẳng:
\(d_1:x+y+3=0\)
\(d_2:x-y-4=0\)
\(d_3:x-2y=0\)
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng \(d_3\) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng \(d_1\) bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng \(d_2\)
Bài 2: Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{26}\) trong khai triển nhị thứ Niutơn của \(\left(\dfrac{1}{x^4}+x^7\right)^n\), biết rằng \(C^1_{2n+1}+C_{2n+1}^2+....+C_{2n+1}=2^{20}-1\)
( n nguyên dương, \(C_n^k\) là tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu 2 đề thiếu rồi kìa. Cái cuối cùng là tổ hợp chập bao nhiêu của 2n + 1 thế???
1/ Vì M thuộc \(d_3\) nên ta có tọa độ của M là: \(M\left(2a;a\right)\)
Khoản cách từ M đến \(d_1\) là:
\(d\left(M,d_1\right)=\dfrac{\left|2a+a+3\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{\left|3a+3\right|}{\sqrt{2}}\)
Khoản cách từ M đến \(d_2\) là:
\(d\left(M,d_2\right)=\dfrac{\left|2a-a-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{\left|a-4\right|}{\sqrt{2}}\)
Theo đề bài ta có:
\(\dfrac{\left|3a+3\right|}{\sqrt{2}}=2.\dfrac{\left|a-4\right|}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\left|3a+3\right|=2.\left|a-4\right|\)
\(\Leftrightarrow a^2+10a-11=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-11\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(2;1\right)\\M\left(-22;-11\right)\end{matrix}\right.\)
2/ Ta có:
\(C_{2n+1}^1+C_{2n+2}^2+...+C_{2n+1}^n=2^{20}-1\)
\(\Leftrightarrow2\left(C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+C_{2n+2}^2+...+C_{2n+1}\right)^n=2^{21}\)
\(\Leftrightarrow C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+C_{2n+2}^2+...+C_{2n+1}^n+...+C_{2n+1}^{2n+1}=2^{21}\)
\(\Leftrightarrow2^{2n+1}=2^{21}\)
\(\Leftrightarrow n=10\)
Ta có số hạng tổng quát trong khai triển của \(\left(\dfrac{1}{x^4}+x^7\right)^{10}\) là:
\(C_{10}^k.\left(\dfrac{1}{x^4}\right)^{10-k}.\left(x^7\right)^k=C_{10}^k.x^{11k-40}\)
Để số hạng chứa \(x^{26}\) thì \(11k-40=26\)
\(\Leftrightarrow k=6\)
Vậy hệ số cần tìm là: \(C_{10}^6\)
Tìm số nguyên dương n sao cho
C 2 n + 1 1 - 2 . 2 . C 2 n + 1 2 + 3 . 2 . C 2 n + 1 3 - 4 . 2 3 . C 2 n + 1 4 + . . + 2 n + 1 2 2 n C 2 n + 1 2 n + 1 = 2019
A. 1009
B. 1010
C. 1011
D. 1012
Xét khai triển
1 + x 2 n + 1 = C 2 n + 1 0 + C 2 n + 1 1 x + C 2 n + 1 2 x 2 + C 2 n + 1 3 x 3 + C 2 n + 1 4 x 4 + . . . + C 2 n + 1 2 n + 1 x 2 n + 1
Lấy đạo hàm cả hai vế ta được
2 n + 1 x 2 n = C 2 n + 1 1 - 2 x C 2 n + 1 2 + 3 x 2 C 2 n + 1 3 - 4 x 3 . C 2 n + 1 4 + . . + 2 n + 1 x 2 n C 2 n + 1 2 n + 1
Thay x = -2 vào ta được
2 n + 1 x 2 n = C 2 n + 1 1 + 2 x . 2 . C 2 n + 1 2 + 3 x 2 C 2 n + 1 3 - 4 x 3 C 2 n + 1 4 + . . + 2 n + 1 x 2 n C 2 n + 1 2 n + 1
Kết hợp với giả thiết bài toán ta được: 2 n + 1 = 2019 ⇔ n = 2019
Vậy n = 1009 là giá trị cần tìm
Đáp án A
Tính F = \(2.1.C_{2021}^2+3.2.C_{2021}^3+...+k\left(k-1\right)C_{2021}^k+...+2021.2020.C_{2021}^{2021}\)