a) Các tam giác cân AOD , BOC có góc đáy bằng nhau nên góc ở đỉnh bằng nhau: \(\widehat{AOD}\) = \(\widehat{BOC}\) . Ta lại có : góc AOD + góc BOD = 180^o nên\(\widehat{BOC}\) + \(\widehat{BOD}\) = 180^o

Vậy C ,O ,D thẳng hàng

b) Xét tam giác BOC = tam giác AOD (g.c.g)

=> BC = AD (2.c.t.ư)

+) Xét tam giác OAD có: OA = OD (= bán kính đường tròn)

Suy ra tam giác OAD cân tại O.

Suy ra: ∠A = ∠D ( tính chất tam giác cân). (1)

+) Xét tam giác OBC có: OB = OC (= bán kính đường tròn)

Suy ra tam giác OBC cân tại O.

Suy ra: ∠B = ∠C ( tính chất tam giác cân). (2)

+) Lại có: ∠A = ∠B ( giả thiết) (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D

Vậy hai tam giác cân OAD và OBC có góc ở đáy bằng nhau nên góc ở đỉnh bằng nhau: ∠AOD = ∠BOC (4).

+) Ta có: ∠AOD + ∠DOB = 180º ( hai góc kề bù) (5)

Từ (4) và (5) suy ra: ∠BOC + ∠DOB = 180º hay 3 điểm C, O và D thẳng hàng.

Hình thang ABCD có đáy AB, CD ⇒ AB // CD ⇒ ∠A2 = ∠C1 ̂ (hai góc so le trong)

Lại có: AD // BC ⇒ ∠A1 = ∠C2 (hai góc so le trong)

Xét ΔABC và ΔCDA có:

∠A2 = ∠C1 (cmt)

AC chung

∠A1 = ∠C2 (cmt)

⇒ ΔABC = ΔCDA (g.c.g)

⇒ AD = BC, AB = CD (các cặp cạnh tương ứng)

b)

Xét ΔABC và ΔCDA có:

AC chung

∠A2 = ∠C1 (cmt)

AB = CD

⇒ ΔABC = ΔCDA (c.g.c)

⇒ AD = BC (hai cạnh tương ứng)

∠A1 = ∠C2 (hai góc tương ứng) ⇒ AD // BC (hai góc so le trong bằng nhau)

+) Xét ∆AIC và ∆BID có:

AI = BI (giả thiết)

∠AIC = ∠BID ( hai góc đối đỉnh).

IC = ID ( giả thiết)

Suy ra: ∆AIC = ∆BID (c.g.c)

Suy ra: ∠C = ∠D; ∠A1 = ∠B1 (1)

+) Lại có: ∠A1 + ∠A2 = 180º (hai góc kề bù)

Và ∠B1 + ∠B2 = 180º (hai góc kề bù)

Suy ra: ∠A2 = ∠B2

+) Xét tam giác OAD và ∆ OBC có:

∠A2 = ∠B2 (chứng minh trên)

AD = BC (vì AI + ID = BI + IC)

∠D = ∠C (chứng minh trên)

Suy ra: ∆OAD = ∆ OBC (g.c.g)

Suy ra: OA = OB (hai cạnh tương ứng).

Ta có:  AC → = A D → + D C →

BD → = B C → + C D →

Do đó:  AC → + B D → = A D → + B C →  vì  DC → = - C D →