Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là:
A. a 2 2
B. a 3 2
C. a 3 3
D. a
Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là:
A. a 2 2
B. a 3 2
C. a 3 2
D. a
Chọn đáp án A
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD => AG ⊥ (BCD)
Gọi M là trung điểm CD => BM ⊥ CD
Kẻ MK ⊥ AB (K ∈ AB)
Mặt khác MK ⊥ CD vì CD ⊥ (SBM)
=> MK là đường vuông góc chung.
=> d(AB;CD) = MK
Khi đó M là trung điểm AB
Vậy khoảng cách giữa AB và CD bằng
Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
A. a 6 2
B. a 3 3
C. a 6 3
D. a 3 2
Cho tứ diện ABCD có AB = x thay đổi, tất cả các cạnh còn lại có độ dài a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD trong trường hợp thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất.
A. a 3 3
B. a 6 4
C. a 3 4
D. a 6 3
Đáp án B
Cách giải:
Gọi M là trung điểm của CD. Kẻ AH vuông góc mặt phẳng (BCD) (H thuộc (BCD)) ⇒ H ∈ BM, AH ⊥ HM
VABCD lớn nhất khi và chỉ khi AH có độ dài lớn nhất, tức là khi H trùng M
Hai tam giác ACD, BCD đều, cạnh a, có đường cao AM, BM bằng a 3 2
Tam giác ABM vuông cân tại A, lấy N là trung điểm của AB ⇒ MN ⊥ AB
Mà MN ⊂ (AMB) ⊥ CD ⇒ MN ⊥ CD ⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là:
Cho tứ diện đều A B C D cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và C D bằng
A. 3 a 2 .
B. a .
C. a 3 2 .
D. a 2 2 .
Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
A. a 3
B. a 3 2
C. a 2 2
D. a
Đáp án C
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD
Ta có: Δ B C D = Δ A C D ⇔ B N = A N ⇒ Δ A B N cân
⇒ M N ⊥ A B
Tương tự, ta chứng minh được M N ⊥ C D ⇒ M N là đoạn vuông chung của AB và
CD.
Xét tam giác ABN có: A N = B N = a 3 2 ; A B = a
M N = A N 2 − A M 2 = A N 2 − A B 2 4 = a 3 2 2 − a 2 4 = a 2 2
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD là: a 2 2
Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD .Tìm d
A. d(AB;CD)=a
B. d(AB;CD)=a/3
C. d(AB;CD)=a/2
D. d A B ; C D = a 2 2
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
A. a 2
B. a 2 2
C. a 2
D. a
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
A. 3 3
B. 3 2
C. 3
D. 4
Đáp án B.
Phương pháp
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và CD, chứng minh
E
F
⊥
A
B
E
F
⊥
C
D
.
Cách giải
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và CD ta có:
Δ A C D = Δ B C D c . c . c ⇒ A F = B F ⇒ Δ A B F
cân tại F ⇒ E F ⊥ A B .
Chứng minh tương tự ta có
E F ⊥ C D ⇒ d A B ; C D = E F .
Ta có:
A F = 6 3 2 = 3 3
Xét tam giác vuông AEF có
E F = A F 2 − A E 2 = 3 2