Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x - 2 1 = y - 1 - 2 = z + 1 3 và mặt phẳng ( α ) : - x + 2 y - 3 z = 0 . Gọi ρ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) . Khi đó, góc ρ bằng
A. 0 °
B. 45 °
C. 90 °
D. 60 °
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A a ; 0 ; - 2 và B 2 ; b ; 0 . Gọi α là mặt phẳng chứa A và trục Oy; β là mặt phẳng chứa B và trục Oz. Biết rằng α và β cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u → = 2 ; 1 ; 2 . Tính độ dài đoạn thẳng AB
A. A B = 5
B. A B = 2 2
C. A B = 21
D. A B = 2 6
Mặt phẳng
α
chứa A và trục Oy nên có một VTPT là 
Đường thẳng
∆
là giao tuyến của
α
và
β
nên có VTCP 
Theo giả thiết, ta có
u
∆
→
cùng phương với 
Suy ra 
Chọn C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x - 2 1 = y - 2 1 = z - 1 2 và mặt phẳng (α):x+y+z-1=0. Gọi d là đường thẳng nằm trên (α) đồng thời cắt đường thẳng ∆ và trục Oz. Một véctơ chỉ phương của d là:
A. u → = 1 ; - 2 ; 1
B. u → = 1 ; 1 ; - 2
C. u → = 2 ; - 1 ; - 1
D. u → = 1 ; 2 ; - 3
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình x - 1 2 = y - 5 = z - 3 4 . Viết phương trình mặt phẳng α chứa trục Oy và song song với đường thẳng d
A. -2x + y = 0
B. x - 2z = 0
C. 2x - z = 0
D. 2x + z = 0
Đáp án C
Ta có n α → = u O y → , u d → = - 4 ; 0 ; 2 ⇒ α : 2 x - z = 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi α là mặt phẳng chứa đường thẳng d : x − 2 1 = y − 3 1 = z 2 và vuông góc với mặt phẳng β : x + y − 2 z + 1 = 0 . Hỏi giao tuyến của α v à β là:
A. (1;-2;0)
B. (2;3;3)
C. (5;6;8)
D. (0;1;3)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d : x - 1 1 = y + 2 - 1 = z - 2 và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)
A. E(-3;0;4)
B. M(3;0;2)
C. N(-1;-2;-1)
D. F(1;2;1)
Chọn C
Cách 1:
Đường thẳng d qua điểm M(1;-2;0), có véc tơ chỉ phương a → = ( 1 ; - 1 ; - 2 ) và trục Oy có véc tơ chỉ phương j → = ( 0 ; 1 ; 0 ) .
là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Gọi φ là góc giữa mặt phẳng (P) và trục Oy 0 ≤ φ ≤ π 2
Ta có
Vì hàm số sin φ tăng liên tục trên 0 ; π 2 nên φ đạt giá trị lớn nhất khi sin φ lớn nhất
Lúc đó
Chọn B= 5; C=-2, A = 1 => n → = ( 1 ; 5 ; - 2 )
Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, có véc tơ pháp tuyến n → = ( 1 ; 5 ; - 2 ) là:
Thế tọa độ N(-1;-2;-1) vào phương trình mặt phẳng (P): -1+5(-2)-2(-1)+9=0 (luôn đúng).
Vậy điểm N(-1;-2;-1) thuộc mặt phẳng (P).
Cách 2:
Xét bài toán tổng quát: Cho hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 phân biệt và không song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ 1 và tạo với ∆ 2 một góc lớn nhất.
Phương pháp giải:
+) Vẽ một đường thẳng ∆ 3 bất kỳ song song với ∆ 2 và cắt ∆ 1 tại M. Gọi B là điểm cố định trên ∆ 3 và H là hình chiếu vuông góc của B lên mp (P), kẻ BA ⊥ ∆ 1
và (P) chứa ∆ 1 và vuông góc với mặt phẳng ( ∆ 1 , ∆ 2 )
Vậy (P) có VTPT là
Áp dụng:
Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;-2;0), có véc tơ pháp tuyến là
Vậy điểm N(-1;-2;-1) thuộc mặt phẳng (P).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho α là mặt phẳng chứa hai đường thẳng d 1 : x − 1 3 = y + 2 − 1 = z + 1 2 và d 2 : x = 12 − 3 t y = t z = 10 − 2 t . Phương trình mặt phẳng α là
A. 15 x − 11 y − 17 z − 54 = 0 .
B. 15 x + 11 y − 17 z + 10 = 0 .
C. 15 x − 11 y − 17 z − 24 = 0.
D. 15 x + 11 y − 17 z − 10 = 0 .
Đáp án D
Đường thẳng d 1 đi qua M 1 1 ; − 2 ; − 1 và có VTCP u 1 → = 3 ; − 1 ; 2 .
Đường thẳng d 2 đi qua M 2 12 ; 0 ; 10 và có VTCP u 2 → = − 3 ; 1 ; − 2 .
Như vậy: u 1 → = − u 2 → , M 1 ∉ d 2 . Suy ra d 1 / / d 2 .
Chú ý: Hai đường thẳng d 1 và d 2 song song nên em không thể lấy tích có hướng của hai VTCP để tìm VTPT của mặt phẳng vì tích có hướng của hai vectơ cùng phương là vectơ-không.
Gọi n → là một VTPT của mặt phẳng α thì vuông n → góc với hai vectơ không cùng phương
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng △ : x - 3 2 = y - 2 1 = z 1 và mặt phẳng ( α ) : 3 x + 4 y + 5 z + 8 = 0 . Góc giữa đường thẳng △ và mặt phẳng ( α ) có số đo là
A. 45 °
B. 90 °
C. 30 °
D. 60 °
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng (d): x - 2 2 = y + 2 - 1 = z - 3 1 . Gọi điểm B thuộc trục Ox sao cho AB vuông góc với đường thẳng (d). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( α ): 2x+2y-z-1=0 là:
A. 2
B. 2 3
C. 1 3
D. 1
