với \(n⋮2\Rightarrow n=2k\)

(8n+1).(6n+5)=(8.2k+1)(6.2k+5)

=(16k+1).(12k+5)

=(...1).(...5)

=(...5)

\(\Rightarrow\)(8n+1).(6n+5) không chia hết cho 2                   (1)

với n không chia hết cho 2\(\Rightarrow\)2=2k+1

(8n+1).(6n+5)=[8.(2k+1)+1].[6.(2k+1)+5]

=(16k+8+1).(12k+6+5)

=(16k+9).(12k+11)

=(...9).(...1)

=(...9)

\(\Rightarrow\)(8n+1).(6n+5) không chia hết cho 2                                          (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\)(8n+1).(6n+5) không chia hết cho 2

                                                 điều phải chứng minh

bạn ơi (...1) đọc là chữ số tận cùng của 1 đó

Xét n lẻ => 8n+1 lẻ, 6n+5 lẻ => (8n+1).(6n+5) lẻ => không chia hết cho 2.

Xét n chẵn => 8n+1 lẻ, 6n+5 lẻ => (8n+1).(6n+5) lẻ => không chia hết cho 2.

Xét n = 0 => 8n+1=1 ; 6n+5=5 => (8n+1).(6n+5) = 5 => không chia hết cho 2.

Từ 3 điều trên suy ra (8n+1).(6n+5) không chia hết cho 2.

(8n + 1).(6n + 5)

= (6n + 5) + (6n + 5).8n

= (6n + 5) + 8n.6n + 8n.5

= (6n + 5) + 48n + 40.n

= (6n + 5) + n.(48 + 40)

= 6n + 5 + 88.n

= (6n + 88n) + 5

= 528n + 5

Mà 528n chia hết cho 2 và 5 không chia hết cho 2

=> 528n + 5 không chia hết cho 2

=> (8n + 1).(6n + 5) không chia hết cho 2

a) Gọi ƯCLN(4n+1;6n+1) = d

=>\(\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\6n+1⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}3\left(4n+1\right)⋮d\\2\left(6n+1\right)⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}12n+3⋮d\\12n+2⋮d\end{cases}}\)

<=> 12n + 3 - 12n -2 \(⋮\)d

<=> 3 - 2  \(⋮\)d  _{(trừ 12n)}

<=> d = 1

Vậy ƯCLN(4n+1;6n+1) = 1 hay với mọi số tự nhiên n thì 4n+1 và 6n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Gọi ƯCLN(5n+4;6n+5) = d

=>\(\hept{\begin{cases}5n+4⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}6\left(5n+4\right)⋮d\\5\left(6n+5\right)⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}30n+24⋮d\\30n+25⋮d\end{cases}}\)

<=>30n + 25 - 30n + 24 \(⋮\)d

<=>25 - 24 \(⋮\)d _{(bỏ đi 30n)}

<=> d = 1

Vậy ƯCLN(5n+4;6n+5) = 1 hay 5n + 4 và 6n + 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau