Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi giá trị thích hợp của biến
\(\left(a-2\right):\left\{\dfrac{a^2-b^2}{a^3+b^3}.\left[a-\dfrac{a^2+b^2}{b}:\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)\right]\right\}=\dfrac{a-2}{a}\)
Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi giá trị thích hợp của biến
\(\left(a-2\right):\left\{\dfrac{a^2-b^2}{a^3+b^3}.\left[a-\dfrac{a^2+b^2}{b}:\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)\right]\right\}=\dfrac{a-2}{a}\)
Bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng với giá trị của biến, giải thích
A. \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
B. \(a^2+b^2\ge3ab\)
C. \(x^3+y^3+1\ge3xy\)
D. \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)
Cả 4 đều không đúng:
A. Sai khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác
A. Sai khi \(\left(a;b\right)=\left(1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác
C. Sai khi \(\left(x;y\right)=\left(-1;-1\right)\) và nhiều trường hợp khác
D. Sai khi \(\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác
Cho A = \(\dfrac{\left(x-y\right)^2+xy}{\left(x+y\right)^2-xy}.\left[1:\dfrac{x^5+y^5+x^3y^2+x^2y^3}{\left(x^3-y^3\right)\left(x^3+y^3+x^2y+xy^2\right)}\right]\)
B = x - y
Chứng minh đẳng thức A = B
Tính giá trị của A, B tại x = 0; y = 0 và giải thích vì sao A ≠ B
\(ĐK:x\ne y;x\ne-y;x^2+xy+y^2\ne0;x^2-xy+y^2\ne0\)
\(A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\left[1:\dfrac{\left(x^3+y^3\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]\\ A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\\ A=x-y=B\)
\(x=0;y=0\Leftrightarrow B=0\)
Giá trị của A không xác định vì \(x=y\) trái với ĐK:\(x\ne y\)
Vậy \(A\ne B\)
Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(a,b,c>0\right)\)
Áp dụng BĐT cosi:
\(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\\ \ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\\ \Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
tính giá trị của biểu thức:
\(A=\dfrac{\left(a+b\right)\left(-x-y\right)-\left(a-y\right)\left(b-x\right)}{abxy\left(xy+ay+ab+by\right)}\) với \(a=\dfrac{1}{3};b=-2;x=\dfrac{3}{2};y=1\)
\(A=\dfrac{\left(a+b\right)\left(-x-y\right)-\left(a-y\right)\left(b-x\right)}{abxy\left(xy+ay+ab+by\right)}\)
\(=\dfrac{a\left(-x-y\right)+b\left(-x-y\right)-a\left(b-x\right)+y\left(b-x\right)}{abxy\left(xy+ay+ab+by\right)}\)
\(=\dfrac{-ax-ay-bx-by-ab+ax+by-xy}{abxy\left(xy+ay+ab+by\right)}\)
\(=\dfrac{-ay-bx-ab-xy}{abxy\left(xy+ay+ab+by\right)}\)
\(=\dfrac{-xy+ay+ab+by}{abxy\left(xy+ay+ab+by\right)}=\dfrac{-1}{abxy}\)
Với \(a=\dfrac{1}{3};b=-2;x=\dfrac{3}{2};y=1\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{3}.\left(-2\right).\dfrac{3}{2}.1}=-1\)
Chứng minh đẳng thức:
\(\dfrac{1}{\left(b-c\right)\left(a^2+ac-b^2-bc\right)}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)\left(b^2+ba-c^2-ca\right)}+\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(c^2+cb-a^2-ab\right)}=0\)
\((\dfrac{1}{\left(b-c\right)\left(a^2+ac-b^2-bc\right)}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)\left(b^2+ba-c^2-ca\right)}+\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(c^2+cb-a^2-ab\right)}=0 \)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(b-c\right)\left[\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c\left(a-b\right)\right]}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)\left[\left(b-c\right)\left(b+c\right)+a\left(b-c\right)\right]}+\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left[\left(c-a\right)\left(c+a\right)+b\left(c-a\right)\right]}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c-a+a-b+b-c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{0}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}=0\)(t/m)
Suy ra ta được Đt cần chứng minh.
Chúc bạn học tốt với hoc24 nha
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{(b-c)(a^2+ac-b^2-bc)}+\frac{1}{(c-a)(b^2+bc-c^2-ca)}+\frac{1}{(a-b)(c^2+cb-a^2-ab)}\)
\(=\frac{1}{(b-c)[(a^2-b^2)+(ac-bc)]}+\frac{1}{(c-a)[(b^2-c^2)+(ba-ca)]}+\frac{1}{(a-b)[(c^2-a^2)+(cb-ab)]}\)
\(=\frac{1}{(b-c)[(a-b)(a+b)+c(a-b)]}+\frac{1}{(c-a)[(b-c)(b+c)+a(b-c)]}+\frac{1}{(a-b)[(c-a)(c+a)+b(c-a)]}\)
\(=\frac{1}{(b-c)(a-b)(a+b+c)}+\frac{1}{(c-a)(b-c)(b+c+a)}+\frac{1}{(a-b)(c-a)(c+a+b)}\)
\(=\frac{(c-a)+(a-b)+(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}=\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}=0\)
Ta có đpcm.
Chứng minh đẳng thức sau :
a. \(\left[\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{2a}{\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)}\right]:\dfrac{a^2+a+1}{a^2+1}=\dfrac{a-1}{a^2+a+11}\) VỚI a ≠ 1
b. \(\left(\dfrac{1-x^3}{1-x}-x\right):\dfrac{1+x}{1-x-x^2+x^3}=\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)\)
Câu a bạn sửa lại đề 11→1
\(a,VT=\dfrac{a^2-2a+1}{\left(a-1\right)\left(a^2+1\right)}\cdot\dfrac{a^2+1}{a^2+a+1}\\ =\dfrac{\left(a-1\right)^2}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\dfrac{a-1}{a^2+a+1}=VP\)
\(b,=\left[\dfrac{\left(1-x\right)\left(x^2+x+1\right)}{1-x}-x\right]\cdot\dfrac{\left(1+x\right)\left(1-x^2\right)}{1+x}\\ =\dfrac{\left(x^2+1\right)\left(1+x\right)\left(1-x^2\right)}{1+x}=\left(x^2+1\right)\left(1-x^2\right)=VP\)
Chứng minh đẳng thức:
a)\(\dfrac{1}{a\left(a+1\right)}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+1}\)
b)\(\dfrac{2}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}=\dfrac{1}{a\left(a+1\right)}-\dfrac{1}{\left(a+1\right)\left(a+2\right)}\)
Giải:
a) Biến đổi VP, ta có:
\(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+1}\)
\(=\dfrac{1.\left(a+1\right)}{a.\left(a+1\right)}-\dfrac{a.1}{a.\left(a+1\right)}\)
\(=\dfrac{a+1}{a.\left(a+1\right)}-\dfrac{a}{a.\left(a+1\right)}\)
\(=\dfrac{a+1-a}{a.\left(a+1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{a.\left(a+1\right)}\) (đpcm)
b) Biến đổi VP, ta được:
\(\dfrac{1}{a\left(a+1\right)}-\dfrac{1}{\left(a+1\right)\left(a+2\right)}\)
\(=\dfrac{1\left(a+2\right)}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}-\dfrac{1.a}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}\)
\(=\dfrac{a+2}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}-\dfrac{a}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}\)
\(=\dfrac{a+2-a}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}\)
\(=\dfrac{2}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}\) (đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a) \(A = 0,2\left( {5{\rm{x}} - 1} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{2}{3}x + 4} \right) + \dfrac{2}{3}\left( {3 - x} \right)\)
b) \(B = \left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}}y + 4{y^2}} \right) - \left( {{x^3} - 8{y^3} + 10} \right)\)
c) \(C = 4{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)^2} - 8\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 4{\rm{x}}\)
a)
\(\begin{array}{l}A = 0,2\left( {5{\rm{x}} - 1} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{2}{3}x + 4} \right) + \dfrac{2}{3}\left( {3 - x} \right)\\A = x - 0,2 - \dfrac{1}{3}x - 2 + 2 - \dfrac{2}{3}x\\ = \left( {x - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}x} \right) + \left( {\dfrac{{ - 1}}{2} - 2 + 2} \right)\\ = - \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Vậy \(A = - \dfrac{1}{2}\) không phụ thuộc vào biến x
b)
\(\begin{array}{l}B = \left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}}y + 4{y^2}} \right) - \left( {{x^3} - 8{y^3} + 10} \right)\\B = \left[ {x - {{\left( {2y} \right)}^3}} \right] - {x^3} + 8{y^3} - 10\\B = {x^3} - 8{y^3} - {x^3} + 8{y^3} - 10 = - 10\end{array}\)
Vậy B = -10 không phụ thuộc vào biến x, y.
c)
\(\begin{array}{l}C = 4{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)^2} - 8\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 4{\rm{x}}\\{\rm{C = 4}}\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 1} \right) + \left( {4{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1} \right) - 8\left( {{x^2} - 1} \right) - 4{\rm{x}}\\C = 4{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} + 4 + 4{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1 - 8{{\rm{x}}^2} + 8 - 4{\rm{x}}\\C = \left( {4{{\rm{x}}^2} + 4{{\rm{x}}^2} - 8{{\rm{x}}^2}} \right) + \left( {8{\rm{x}} - 4{\rm{x}} - 4{\rm{x}}} \right) + \left( {4 + 1 + 8} \right)\\C = 13\end{array}\)
Vậy C = 13 không phụ thuộc vào biến x