Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Tính độ dài đoạn thẳng DE
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Tính diện tích tứ giác DENM
Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC
a) Tính độ dài đoạn thẳng DE
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH
c) Tính diện tích tứ giác DENM
search : https://hoc24.vn/hoi-dap/question/56467.html
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH
*Gọi G là giao điểm của AH và DE
Ta có: GA = GD = GH = GE (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra tam giác GHD cân tại G
Suy ra tam giác NCE cân tại N ⇒ NC = NE (16)
Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.
Cho tam giác ABC vuông lại A , đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn
, BH CH có độ dài lẩn lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H
trên AB và AC .
a) Tính độ dài AH . Từ đó suy ra độ dài của DE .
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N .
Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH .
c) Tính diện tích tứ giác DENM .
Giúp mình nhanh với mn ơi, mai phải nộp rồi.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ chia cạnh huyền $BC$ thành hai đoạn $BH$, $CH$ có độ dài lần lượt là $4cm$, $9cm$. Gọi $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB$ và $AC$.
a) Tính độ dài $DE$.
b) Các đường vuông góc với $DE$ tại $D$ và tại $E$ lần lượt cắt $BC$ tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $BH$ và $N$ là trung điểm của $CH$.
c) Tính diện tích tứ giác $DENM$.
anh đây đẹp troai, chim dài mét hai !
a) Tứ giác AEHD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Vì vậy DE = AH.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
.
Vậy DE = AH = 6(cm).
b) Gọi O là giao điểm của AH và DE. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật, suy ra OD = OH.
Xét tam giác DMO và tam giác HMO có:
MO chung
OD = OH
Suy ra (ch - cgv).
Vì vậy . (1)
Từ đó suy ra tam giác MDH cân tại M hay .
Có .
Suy ra . Vì vậy tam giác BDM cân tại M hay MB = MD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM = MH hay M là trung điểm của BH.
Chứng minh tương tự ta có N là trung điểm của CH.
c) Tứ giác EDMN là hình thang với đường cao DE, các đáy DM và EN.
DM = BH : 2 = 2(cm), EN = AH : 2 = 4,5(cm).
Diện tích hình thang EDMN là:
a) Tứ giác AEHD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Vì vậy DE = AH.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
.
Vậy DE = AH = 6(cm).
b) Gọi O là giao điểm của AH và DE. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật, suy ra OD = OH.
Xét tam giác DMO và tam giác HMO có:
MO chung
OD = OH
Suy ra (ch - cgv).
Vì vậy . (1)
Từ đó suy ra tam giác MDH cân tại M hay .
Có .
Suy ra . Vì vậy tam giác BDM cân tại M hay MB = MD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM = MH hay M là trung điểm của BH.
Chứng minh tương tự ta có N là trung điểm của CH.
c) Tứ giác EDMN là hình thang với đường cao DE, các đáy DM và EN.
DM = BH : 2 = 2(cm), EN = AH : 2 = 4,5(cm).
Diện tích hình thang EDMN là:
.
1.Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC
a) Tính độ dài đoạn thẳng DE
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH
c) Tính diện tích tứ giác DENM.
Bài này hơi khó nên không chắc nhé bạn ==*
Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật
Suy ra: AH = DE ( tính chất hình chữ nhật )
Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao
Theo hệ thức giữa đường cao và hình chiếu ta có:
AH2 = HB . HC = 4 . 9 = 36 => AH = 6 ( cm )
Vậy DE = 6 ( cm )
b. *Gọi G là giao điểm của AH và DE
Ta có: GA = GD = GH = GE (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra tam giác GHD cân tại G
Ta có : \(\widehat{GDH}=\widehat{GHD}\left(1\right)\)
\(\widehat{GDH}+\widehat{MDH}=90^o\left(2\right)\)
\(\widehat{GHD}+\widehat{MHD}=90^o\left(3\right)\)
Từ (1) (2) và (3) , suy ra : \(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\left(4\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MDH\)cân tại M \(\Rightarrow MD=MH\left(5\right)\)
Ta lại có : \(\widehat{MDH}+\widehat{MDB}=90^o\left(6\right)\)
\(\widehat{MBD}+\widehat{MHD}=90^o(\Delta BHD\)vuông tại D ) ( 7 )
Từ (4) (6) và (7) , suy ra : \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\)
\(\Rightarrow\Delta MDH\)cân tại M \(\Rightarrow MB=MD\left(8\right)\)
Từ (5) và (8) , suy ra : \(MB=MH\)hay M là trung điểm của BH
*\(\Delta GHE\)cân tại G
Ta có : \(\widehat{GHE}=\widehat{GEH}\left(9\right)\)
\(\widehat{GHE}+\widehat{NHE}=90^o\left(10\right)\)
\(\widehat{GEH}+\widehat{NEH}=90^o\left(11\right)\)
Từ (9) (10) và (11) , suy ra : \(\widehat{NHE}=\widehat{NEH}\left(12\right)\)
\(\Rightarrow\Delta NEH\)cân tại N => NE = NH ( 13 )
Lại có : \(\widehat{NEC}+\widehat{NEH}=90^o\left(14\right)\)
\(\widehat{NHE}+\widehat{NCE}=90^o(\Delta CEH\)vuông tại E ) ( 15 )
Từ (12) (14) và (15) , suy ra : \(\widehat{NDC}=\widehat{NCE}\)
Suy ra tam giác NCE cân tại N ⇒ NC = NE (16)
Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.
c. Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên :
\(DM=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)
\(\Delta CEH\)vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên :
\(EN=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}.9=4,5\left(cm\right)\)
Mà \(MD\perp DE\)và \(NE\perp DE\)nên MD // NE
Suy ra tứ giác DENM là hình thang
Vậy : \(S_{DENM}=\frac{DM+NE}{2}.DE=\frac{2+4,5}{2}.6=19,5\left(cm^2\right)\)
Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH và CH có độ dài lần lượt là 4cm và 9cm . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. a) Chứng minh: AM .AB =AN. AC . b) Tính độ dài đoạn thẳng MN. c) Tính diện tích tứ giác BMNC.
a: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
b: Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{NAM}=\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90^0\)
Do đó: AMHN là hình chữ nhật
Suy ra: AH=NM
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
hay AH=6(cm)
mà AH=NM
nên MN=6cm
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành 2 đoạn ; BH,CH có độ dài lần lượt là 4cm và 9cm . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC .Tính a, DE
b, Cắt đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N . chứng minh M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH.
c, Tính diện tích tứ giác DEMN
Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH và CH có độ dài lần lượt là 4cm và 9cm . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. a) Chứng minh: AM .AB= AN .AC . b) Tính độ dài đoạn thẳng MN. c) Tính diện tích tứ giác BMNC.
a, Xét tam giác AHB vuông tại H, đường cao MH
\(AH^2=AM.AB\)( hệ thức lượng ) (1)
Xét tam giác AHC vuông tại H, đường cao HN
\(AH^2=AN.AC\)( hệ thức lượng ) (2)
Từ (1) ; (2) suy ra : \(AM.AB=AN.AC\)(3)
b, Xét tam giác AMN và tam giác ACB ta có :
^A _ chung
\(\left(3\right)\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
Vậy tam giác AMN ~ tam giác ACB ( c.g.c )
\(\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}\)(4)
Ta có : BC = HB + HC = 9 + 4 = 13 cm
Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=HC.BC=9.13=117\Rightarrow AC=3\sqrt{13}\)cm
Theo định lí Pytago : \(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{169-\left(3\sqrt{13}\right)^2}=2\sqrt{13}\)cm
* Áp dụng hệ thức : \(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{2\sqrt{13}.3\sqrt{13}}{13}=6\)cm
lại có : \(AH^2=AM.AB\)cma => \(AM=\frac{36}{2\sqrt{13}}=\frac{18\sqrt{13}}{13}\)cm
Thay vào (4) ta được : \(\frac{MN}{13}=\frac{\frac{18\sqrt{13}}{13}}{3\sqrt{13}}=6\)cm
c, Lại có : \(AH^2=AN.AC\)cma => \(AN=\frac{36}{3\sqrt{13}}=\frac{12\sqrt{13}}{13}\)cm
Ta có : \(S_{AMN}=\frac{1}{2}AN.AM=\frac{1}{2}.\frac{12\sqrt{13}}{13}.\frac{18\sqrt{13}}{13}=\frac{108}{13}\)cm 2
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.2\sqrt{13}.3\sqrt{13}=39\)cm 2
Do \(S_{AMN}+S_{BMNC}=S_{ABC}\Rightarrow S_{BMNC}=S_{ABC}-S_{AMN}\)
\(=39-\frac{108}{13}=\frac{399}{13}\)cm2