Cho tam giác. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua các trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba của tam giác đó.
Cho tam giác ABC :
a) Qua trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt cạnh AC tại E. Qua E, kẻ đường thẳng song song với BC, nó cắt AB tại F. Chứng minh \(\Delta CDE=\Delta EFA\). Từ đó suy ra E là trung điểm của cạnh AC ?
b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua các trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba của tam giác đó ?
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm của tam giác có ba đỉnh là trung điểm ba cạnh của tam giác ABC ?
a: Xét tứ giác BFED có
ED//BF
FE//BD
Do đó: BFED là hình bình hành
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DE//AB
Do đó: E là trung điểm của AC
Xét ΔABC có
E là trung điểm của AC
EF//CB
Do đó: F là trung điểm của AB
Xét ΔCDE và ΔEFA có
CD=EF
DE=FA
CE=EA
Do đó: ΔCDE=ΔEFA
b: Gọi ΔABC có F là trung điểm của AB,E là trung điểm của AC
Trên tia FE lấy điểm E sao cho E là trung điểm của FK
Xét tứ giác AFCK có
E là trung điểm của AC
E là trung điểm của FK
Do đó: AFCK là hình bình hành
Suy ra: AF//KC và KC=AF
hay KC//FB và KC=FB
Xét tứ giác BFKC có
KC//FB
KC=FB
Do đó: BFKC là hình bình hành
Suy ra: FE//BC(ĐPCM)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì sẽ đi qua trung điểm cạnh thứ ba
Cái Này Sẽ Được Chứng Minh Ở Bài Đường Trung Bình Lớp 8, Bạn Tra Mạng Sẽ Có Nhé!
Các bạn cho mình hỏi còn cách nào để chứng minh hai câu này ngoài cách của sgk không nếu có thì các bạn giải hộ mình nhé thanks nhiều
chứng minh trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm cạch thứ nhất và song song cạnh với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba
chứng minh Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Mong các bạn giải nhanh để mình làm bài tks
Đề bài minh hoạ:
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB. Đường thẳng đi qua M song song với cạnh BC và cắt cạnh AC tại điểm N. Chứng minh {\displaystyle NA=NC}.
Chứng minh định lý:
Từ M vẽ tia song song với AC, cắt BC tại F. Tứ giác MNCF có hai cạnh MN và FC song song nhau nên là hình thang. Hình thang MNCF có hai cạnh bên song song nhau nên hai cạnh bên đó bằng nhau (theo tính chất hình thang): {\displaystyle MF=NC} (1)
Xét hai tam giác BMF và MAN, có: {\displaystyle {\widehat {\rm {MBF}}}={\widehat {\rm {AMN}}}} (hai góc đồng vị), {\displaystyle BM=MA} và {\displaystyle {\widehat {\rm {BMF}}}={\widehat {\rm {MAN}}}} (hai góc đồng vị). Suy ra {\displaystyle \triangle BMF=\triangle MAN} (trường hợp góc - cạnh - góc), từ đó suy ra {\displaystyle MF=AN} (2)
Từ (1) và (2) suy ra {\displaystyle NA=NC}. Định lý được chứng minh.
Định lý 2
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và dài bằng nửa cạnh ấy.[2]
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB và N là trung điểm cạnh AC ({\displaystyle MA=MB} và {\displaystyle NA=NC}). Chứng minh {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}} và {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}.
Chứng minh định lý:
Kéo dài đoạn MN về phía N một đoạn NF có độ dài bằng MN. Nhận thấy: {\displaystyle \triangle ANM=\triangle CNF} (trường hợp cạnh - góc - cạnh)
suy ra {\displaystyle {\widehat {\rm {MAN}}}={\widehat {\rm {NCF}}}}. Hai góc này ở vị trí so le trong lại bằng nhau nên {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {MA}}} hay {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {BA}}}. Mặt khác vì hai tam giác này bằng nhau nên {\displaystyle CF=MA}, suy ra {\displaystyle CF=MB} (vì {\displaystyle MA=MB}). Tứ giác BMFC có hai cạnh đối BM và FC vừa song song, vừa bằng nhau nên BMFC là hinh binh hanh, suy ra {\displaystyle {\overline {MF}}\parallel {\overline {BC}}} hay {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}}. Mặt khác, {\displaystyle MN=NF={\frac {1}{2}}MF}, mà {\displaystyle MF=BC} (tính chất hình bình hành), nên {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}. Định lý được chứng minh.
D/L: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
ta lay vd 1 de bai de chung minh:
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB. Đường thẳng đi qua M song song với cạnh BC và cắt cạnh AC tại điểm N. Chứng minh {\displaystyle NA=NC}
ta chung minh dinh ly
Từ M vẽ tia song song với AC, cắt BC tại F. Tứ giác MNCF có hai cạnh MN và FC song song nhau nên là hình thang. Hình thang MNCF có hai cạnh bên song song nhau nên hai cạnh bên đó bằng nhau (theo tính chất hình thang): {\displaystyle MF=NC} (1)
Xét hai tam giác BMF và MAN, có: {\displaystyle {\widehat {\rm {MBF}}}={\widehat {\rm {AMN}}}} (hai góc đồng vị), {\displaystyle BM=MA} và {\displaystyle {\widehat {\rm {BMF}}}={\widehat {\rm {MAN}}}} (hai góc đồng vị). Suy ra {\displaystyle \triangle BMF=\triangle MAN} (trường hợp góc - cạnh - góc), từ đó suy ra {\displaystyle MF=AN} (2)
Từ (1) và (2) suy ra {\displaystyle NA=NC}. ( dieu phai chung minh )
D/L : Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và dài bằng nửa cạnh ấy
VD : Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB và N là trung điểm cạnh AC ( và ). Chứng minh và
chung minh dinh li
Kéo dài đoạn MN về phía N một đoạn NF có độ dài bằng MN. Nhận thấy: {\displaystyle \triangle ANM=\triangle CNF} (trường hợp cạnh - góc - cạnh)
suy ra {\displaystyle {\widehat {\rm {MAN}}}={\widehat {\rm {NCF}}}}. Hai góc này ở vị trí so le trong lại bằng nhau nên {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {MA}}} hay {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {BA}}}. Mặt khác vì hai tam giác này bằng nhau nên {\displaystyle CF=MA}, suy ra {\displaystyle CF=MB} (vì {\displaystyle MA=MB}). Tứ giác BMFC có hai cạnh đối BM và FC vừa song song, vừa bằng nhau nên BMFC là hình bình hành, suy ra {\displaystyle {\overline {MF}}\parallel {\overline {BC}}} hay {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}}. Mặt khác, {\displaystyle MN=NF={\frac {1}{2}}MF}, mà {\displaystyle MF=BC} (tính chất hình bình hành), nên {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}
Các bạn cho mình hỏi còn cách nào để chứng minh hai câu này ngoài cách của sgk không nếu có thì các bạn giải hộ mình nhé thanks nhiều
chứng minh trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm cạch thứ nhất và song song cạnh với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba
chứng minh Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Mong các bạn giải nhanh để mình làm bài tks
a) Cho hai tam giác ABC và DBC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Kẻ đường cao DK của tam giác DBC. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Gọi S' là diện tích của tam giác DBC
Chứng minh rằng : \(\dfrac{S'}{S}=\dfrac{DK}{AH}\)
b) Cho tam giác ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là AD, BE và CF. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với AD cắt cạnh BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với BE cắt cạnh AC tại điểm K. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với CF cắt cạnh BA tại điểm T
Chứng minh rằng \(\dfrac{MH}{AD}+\dfrac{MK}{BE}+\dfrac{MT}{CF}=\)
Cho tam giác ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là AD, BE và CF. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với AD cắt cạnh BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với BE cắt cạnh AC tại điểm K. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với CF cắt cạnh BA tại điểm T.
Chứng minh rằng M H A D + M K B E + M T C F = 1
Gọi diện tích các hình tam giác ABC, MAB, MAC, MBC lần lượt là S, S 1 , S 2 , S 3 . Ta có:
S = S 1 + S 2 + S 3
Trong đó: S = 1/2 AD.BC = 1/2 BE. AC = 1/2 CF. AB
S 1 = 1/2 MT. AB
S 2 = 1/2 MK. AC
S 3 = 1/2 MH. BC
qua mỗi đỉnh của tam giác kẻ đường song song với cạnh đối diện với nó a ) chứng minh rằng mỗi đường thẳng cắt hai đường thẳng còn lại b ) chứng minh rằng ba giao điểm là ba đỉnh của một tam giác .
Cho tam giác ABC nhọn với AB<BC và D là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác của B A C ^ .
Đường thẳng qua C và song song với AD, cắt trung trực của AC tại E.
Đường thẳng qua B song song với AD, cắt trung trực của AB tại F.
1) Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE.
2). Chứng minh rằng các đường thẳng B E ; C F ; A D đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G.
3). Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF tại Q. Đường thẳng QE, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tại P khác E. Chứng minh rằng các điểm A, P, G, Q, F cùng thuộc một đường tròn.
1). Tam giác ABF và tam giác ACE ần lượt cân tại F, E và
F B A ^ = E C A ^ = A ^ 2 ⇒ Δ A B F ∽ Δ A C E .
2). Giả sử G là giao điểm của BE và CF.
Ta có G F G C = B F C E = A B A C = D B D C ⇒ G D ∥ F B , và F B ∥ A D ta có G ∈ A D .
3). Chứng minh B Q G ^ = Q G A ^ = G A E ^ = G A C ^ + C A E ^ = G A B ^ + B A F ^ = G A F ^ , nên AGQF nội tiếp, và Q P G ^ = G C E ^ = G F Q ^ , suy ra tứ giác FQGP nội tiếp.
1) Chứng minh rằng tam giác \( A B F \) đồng dạng với tam giác \( A C E \):
- Tam giác \(ABF\) và \(ACE\) có:
+ Góc \(A\) chung.
+ Góc \(BAF\) bằng góc \(CAE\) (vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) và \(CF\), \(BE\) song song với \(AD\)).
Do đó, tam giác \(ABF\) đồng dạng với tam giác \(ACE\) (theo trường hợp góc-góc).
2) Chứng minh rằng các đường thẳng \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy:
- Gọi \(G\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\).
- \(AD\) là phân giác góc \(BAC\), và \(BE\), \(CF\) song song với \(AD\). Do đó, \(G\) cũng nằm trên phân giác \(AD\).
- Vậy \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy tại \(G\).
3) Chứng minh rằng các điểm \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn:
- Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(GEC\) là \(\omega\).
- \(QE\) cắt \(\omega\) tại \(P\) khác \(E\), vậy \(P\) nằm trên đường tròn \(\omega\).
- \(GQ\) song song với \(AE\), và \(AE\) là đường kính của \(\omega\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(G\) nằm trên phân giác của \(BAC\)). Do đó, \(GQ\) là dây cung của \(\omega\).
- \(PF\) là tiếp tuyến của \(\omega\) tại \(P\) (vì \(QE\) là tiếp tuyến và \(PF\) là phần kéo dài của \(QE\)).
- Góc \(PGF\) bằng góc \(GAC\) (cùng chắn cung \(GC\) của \(\omega\)).
- \(AF\) là trung trực của \(AB\), nên \(ABF\) là tam giác cân tại \(A\). Do đó, góc \(AFB\) bằng góc \(ABF\).
- Góc \(ABF\) bằng góc \(GAC\) (do đồng dạng của tam giác \(ABF\) và \(ACE\)).
- Vậy, góc \(PGF\) bằng góc \(AFB\). Do đó, \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: đương thẳng đi qua trung điểm 1 cạch và song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3
Tam giác nào, bạn thử vẽ hình xem nào.