Đáp án B

Gọi K là trung điểm của AB, do ∆CAB và ∆DAB là hai tam giác cân chung cạnh đáy AB nên  C K ⊥ A B D K ⊥ A B ⇒ A B ⊥ C D K

Kẻ  D H ⊥ C K ta có  D H ⊥ A B C

Vậy  V = 1 3 S . h = 1 3 1 2 C K . A B . D H = 1 3 1 2 C K . D H . A B

Suy ra  V = 1 3 A B . S Δ K D C

Dễ thấy Δ C A B = Δ D A B ⇒ C K = D K    h a y    Δ K D C  cân tại K. Gọi I là trung điểm CD, suy ra K I ⊥ C D  và  K I = K C 2 − C I 2 = A C 2 − A K 2 − C I 2 = 4 − x 2 4 − 1 = 1 2 12 − x 2

Suy ra  S Δ K D C = 1 2 K I . C D = 1 2 12 − x 2

Vậy V = 1 6 x 12 − x 2 ≤ 1 6 . x 2 + 12 − x 2 2 = 1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x = 12 − x 2    h a y    x = 6

Đáp án C

Tứ diện ABCD có chiểu cao không đổi do đó thể tích nhỏ nhất khi diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Vì  AB, BC, CA lần lượt tiếp xúc với quả cầu và phần quả cầu bên trong tứ diện có thể tích bằng phần quả cầu bên ngoài tứ diện nên tâm I của mặt cầu nằm trong tam giác ABC

Đáp án B

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của CD. Kẻ AH vuông góc mặt phẳng (BCD) (H thuộc (BCD)) ⇒ H ∈ BM, AH ⊥ HM

VABCD lớn nhất khi và chỉ khi AH có độ dài lớn nhất, tức là khi H trùng M

Hai tam giác ACD, BCD đều, cạnh a, có đường cao AM, BM bằng  a 3 2

Tam giác ABM vuông cân tại A, lấy N là trung điểm của AB ⇒ MN ⊥ AB

Mà MN ⊂ (AMB) ⊥ CD ⇒ MN ⊥ CD ⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là:

Chọn B.

Đáp án D

Đáp án D

Gọi  d = x ⇒ I O 2 = x − 9 2 .

Có  O C = I C 2 − I O 2

          = 9 2 − x − 9 2 = 18 x − x 2

            ⇒ A C = B D = 2 18 x − x 2

Vậy  P = S O . S A B C D = x . 1 2 A C . B D

          = 2 x . 18 x − x 2 = 2 x 2 18 − x

Có 36 = x + x + 2 18 − x         

                  ≥ 3 2 x 2 . 18 − x 3

⇒ x 2 18 − x ≤ 864.

 Vậy P đạt giá trị lớn nhất khi x = 2 18 − x ⇔ x = 12 .

Chọn đáp án D

Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB, CD