a: \(\widehat{ABH}+\widehat{A}=90^0\)

\(\widehat{ACK}+\widehat{A}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

Kẻ đường cao AJ, trực tâm của tam giác là I. Khi đó AKIH là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{AKH}=\widehat{AIH}\) (Cùng chắn cung AH)

Lại có \(\widehat{AIH}=\widehat{ACB}\) (Cùng phụ với \(\widehat{HAI}\) ). Vậy thì \(\widehat{AKH}=\widehat{ACB}\)

Vậy thì \(\Delta AKH\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AK}{AC}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AK.AB=AH.AC\left(1\right)\)

Xét tam giác vuông ABE, áp dụng hệ thức lượng ta có AE² = AK.AB. Tương tự AD² = AH.AC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE = AD (đpcm)

Ta dễ dàng chứng minh được tam giác AKH đồng dạng tam giác ACB (g.g)

=> \(\frac{AH}{AB}=\frac{AK}{AC}\Rightarrow AH.AC=AK.AB\)             (*)

Vì tam giác ADC và tam giác AEB lần lượt nội tiếp các đường tròn đường kính AC và AB nên là các tam

giác vuông, đồng thời các đường cao tương ứng là DH và EK

Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông được \(AD^2=AH.AC\) , \(AE^2=AK.AB\)

Từ  (*) ta suy ra \(AD^2=AE^2\Rightarrow AD=AE\)

Vậy tam giác ADE là tam giác cân tại A. (đpcm)

bài này dễ mà

dể sao không  làm

a)xét 2 tam giác vuông AHB và AKC có:

\(\widehat{A}\) là góc chung

AB=AC (ΔABC cân tại A)

⇒ΔAHB=ΔAKC (cạnh huyền góc nhọn)

⇒BH=CK (2 cạnh tương ứng)

b) xét 2 tam giác vuông AHI và AKI có:

AH=AK (ΔAHB=ΔAKC)

AI là cạnh chung

⇒ ΔAHI=ΔAKI (cạnh huyền cạnh góc vuông)

⇒\(\widehat{HAI}\) =\(\widehat{KAI}\) (2 góc tương ứng)

⇒AI là tia phân giác của\(\widehat{HAK}\) 

a) Xét tam giác BCH và tam giác CBK có 

     góc KBC = góc HCB ( vì tam giác ABC cân )

 BC : cạnh chung

góc BKC = CHB = 90 độ (GT )

Từ 3 điều trên => Tam giác BCH = tam giác CBK (cạnh huyền - góc nhọn )

b) Vì tam giác BCH = tam giác CBK ( chứng minh ở câu a )

=> BH = CK ( cặp cạnh tương ứng )

c) Vì tam giác BCH = tam giác CBK ( câu a )

=> CH = BK ( 2 cạnh tương ứng )

  Xét tam giác KIB và tam giác HIC có :

Góc KIB = góc HIC ( 2 góc đối đỉnh )             (1)

BK = CH ( chứng minh trên )                            (2)

góc IKB = góc IHC = 90 độ (GT )                       (3)

Từ (1) (2) và(3) => tam giác KIB = tam giác HIC ( g-c-g )

=>  IB = IC ( cặp cạnh tương ứng )

=> tam giác BIC cân tại I 

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC

\(\widehat{BAH}\) chung

Do đó: ΔAHB=ΔAKC

=>AH=AK

b: Ta có: ΔAHB=ΔAKC

=>\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

=>\(\widehat{KBI}=\widehat{HCI}\)

Ta có: AK+KB=AB

AH+HC=AC

mà AK=AH và AB=AC

nên KB=HC

Xét ΔIKB vuông tại K và ΔIHC vuông tại H có

KB=HC

\(\widehat{KBI}=\widehat{HCI}\)

Do đó: ΔIKB=ΔIHC

c: ta có: ΔIKB=ΔIHC

=>IB=IC

Xét ΔABI và ΔACI có

AB=AC

BI=CI

AI chung

Do đó: ΔABI=ΔACI

=>\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

=>AI là phân giác của góc BAC

d: Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: IB=IC

=>I nằm trên đường trung trực của BC(2)

ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,I,M thẳng hàng