Xét hệ phương trình m − 2 x + m − 6 y = − m + 1 m − 4 x + 2 m − 3 y = m − 5  có định thức cấp hai là

D = m − 2 m − 6 m − 4 2 m − 3 =     m − 2 . 2 m − 3 − m − 4 .   m − 6

= m 2 + 3 m − 18 = m − 3 m + 6

Để hai đường thẳng cắt nhau thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

⟺ D ≠ 0 ⟺ m ≠ 3 m ≠ − 6

ĐÁP ÁN C

Đáp án đúng là C

Đường thẳng \(y = \dfrac{1}{2}x + 3\) có hệ số góc là \(a = \dfrac{1}{2}\); Đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{2}x + 3\) có hệ số góc là \(a = \dfrac{{ - 1}}{2}\). Do đó, hai đường thẳng này cắt nhau.

Lại có:  Đường thẳng \(y = \dfrac{1}{2}x + 3\) cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;3} \right)\); Đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{2}x + 3\) cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;3} \right)\). Do đó, \(A\) là giao điểm của hai đường thẳng.

Hoành độ điểm \(A\) là \(x = 0\); tung độ của điểm \(A\) là \(y = 3\).

a: Để hai đường thẳng song song thì \(\left\{{}\begin{matrix}k=5-k\\m-2< >4-m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\dfrac{5}{2}\\m< >3\end{matrix}\right.\)

b: Để hai đường cắt nhau thì k<>5-k

=>k<>5/2

c: Để hai đường trùng nhau thì \(\left\{{}\begin{matrix}k=5-k\\m-2=4-m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\dfrac{5}{2}\\m=3\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Do $(d_1),(d_2)$ cắt nhau tại trục hoành nên tung độ bằng $0$. Gọi giao điểm của $(d_1); (d_2)$ là $(a,0)$. Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} a+0=-1\\ ma+0=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1\\ ma=1\end{matrix}\right.\Rightarrow m(-1)=1\Rightarrow m=-1\)

Vậy.........

Bài 1:

Gọi giao điểm của 2 đths là \(I(x_I,y_I)\)

a)

Giao điểm nằm trên trục tung thì \(x_I=0\)

Ta có: \(I\in (d);(d')\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_I=m.0-4=-4\\ y_I=0+m=m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=-4\)

b) Giao điểm nằm trên trục hoành thì \(y_I=0\)

Ta có: \(I\in (d);(d')\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0=mx_I-4\\ 0=x_I+m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} mx_I=4\\ x_I=-m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow -m^2=4\) (VL)

Vậy k tồn tại $m$ để hai đths cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.

c)

Hai đths cắt nhau tại điểm có tung độ bằng $1$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} mx_I-4=1\\ x_I+m=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} mx_I=5\\ x_I=1-m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m(1-m)=5\)

\(\Leftrightarrow (m-\frac{1}{2})^2+\frac{19}{4}=0\) (VL)

Vậy k tồn tại $m$ để 2 đths cắt nhau tại điểm có tung độ bằng $1$

Bài 2:

\(y=(m+1)x-m-3, \forall m\)

\(\Leftrightarrow m(x-1)+x-3-y=0, \forall m\)

Để điều này xảy ra thì \(\left\{\begin{matrix} x-1=0\\ x-3-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=-2\end{matrix}\right.\)

Như vậy $(d)$ luôn đi qua điểm \((1,-2)\) với mọi $m$

b) ĐK: \(m\neq -1\)

\(A=(d)\cap Ox\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_A=0\\ y_A=(m+1)x_A-m-3\end{matrix}\right. \)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_A=0\\ x_A=\frac{m+3}{m+1}\end{matrix}\right.\)

\(B=(d)\cap Oy\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_B=0\\ y_B=(m+1)x_B-m-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_B=0\\ y_B=-m-3\end{matrix}\right.\)

Vì $A,B$ nằm trên trục hoành và trục tung nên hiển nhiên tam giác $OAB$ vuông sẵn. Vậy để nó là tam giác vuông cân thì $OA=OB$

\(\Leftrightarrow \sqrt{(\frac{m+3}{m+1})^2}=\sqrt{(-m-3)^2}\)

\(\Leftrightarrow (\frac{m+3}{m+1})^2=(m+3)^2\)

\(\Leftrightarrow (m+3)^2\left(\frac{1}{(m+1)^2}-1\right)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=-3\\ m=-2\\ m=0\end{matrix}\right.\)

Với $m=-3$ thì $A,B$ trùng nhau nên $m=0,-2$