Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định các điểm M, N tương ứng trên các đoạn AC’ và B’D’ sao cho MN//BA’ và tính tỉ số M A M C '
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Cho hình hộp A B C D . A ' B ' C ' D ' . Xác định các điểm M, N tương ứng trên các đoạn AC’ và B’D’ sao cho M N // B A ' và tính tỉ số M A M C ' .
A.1
B.2
C.3
D.4
Đáp án B
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng A ' B ' C ' D ' theo phương chiếu B A ' .
Ta có N là ảnh của M hay N = B ' D ' ∩ A C '
Do đó ta xác định M, N như sau:
Trên A'B' kéo dài lấy điểm K sao cho A ' K = A ' B thì A B A ' K là hình bình hành nên A K // A ' B .
Gọi N = B ' D ' ∩ K C ' . Đường thẳng qua N và song song với AK cắt AC' tại M
Ta có M, N là các điểm cần xác định.
Theo định lý Thales: M A M C ' = N K N C ' = K B ' C ' D ' = 2
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Xác định các điểm M,N tương ứng trên các đoạn AC', B'D' sao cho MN//BA'. Tính tỉ số M A M C '
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D‘. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, A’B‘. Chứng minh rằng:
a) BD // B’D‘, (A’BD) // (CB’D’) và MN // (BDD’B‘).
b) Đường thẳng AC‘ đi qua trọng tâm G của tam giác A‘BD.
a) Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’)
\(\left( {B'D'DB} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = B'D',\)
\(\left( {B'D'DB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\).
Suy ra B'D' // DB.
Xét (A'BD) và (CB'D') có BD // B'D', A'B // CD'.
Suy ra (A'BD) //(CB'D').
Xét tứ giác B'NMO ta có: B'N = MO, B'N // MO.
Suy ra B'NMO là hình bình hành.
Suy ra B'O // MN hay MN // (BDD'B').
b) Xét tứ giác A'C'OA ta có: A'C' // AO, A'C' = 2AO
Suy ra A'G =2GO.
Mà O là trung điểm BD.
Suy ra G là trọng tâm tam giác A'BD.
Như vậy AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là cá điểm xác định bởi M A → = x M C ' → , N C → = y N D ' → x , y ∈ R Biết rằng đường thẳng MN song song với B’D. Tính giá trị của biểu thức P = x 2 + y 2
A. 10
B. 5
C. 13
D. 8
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là cá điểm xác định bởi M A → = x M C ' → , N C → = y N D ' → ( x , y ∈ R ) . Biết rằng đường thẳng MN song song với B’D. Tính giá trị của biểu thức P = x 2 + y 2
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD’ tại Q. Tính tỉ số D ' Q D D '
A. 1 6
B. 1 3
C. 5 6
D. 2 3
Cho hình hộp A B C D . A ’ B ’ C ’ D ’ . Trên các cạnh A A ' ; B B ' ; C C ' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho A ' M A A ' = 1 3 ; B ' N B B ' = 2 3 ; C ' P C C ' = 1 2 . Biết mặt phẳng M N P cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số D ' Q D D ' .
A. 1 6
B. 1 3
C. 5 6
D. 2 3
Đáp án A
Ta chứng minh được công thức tỷ số thể tích tối với khối hộp như sau (học sinh có thể tự chứng minh).
V A ' B ' C ' D ' . M N P Q V A " B ' C ' D ' . A B C D = 1 2 A ' M A ' A + C ' P C ' C = 1 2 B ' N B ' B + D Q D ' D
Khi đó: 1 3 + 1 2 = 2 3 + D Q D ' D ⇔ D Q D ' D = 1 6 .
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh AD và CC’ sao cho: A M M D = C N N C '
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACB’)
b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’)
a) Vẽ MP song song với AC và cắt CD tại P
Ta có:
Do đó PN // DC′ // AB′
Đường thẳng MN thuộc mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng này có MP // AC và PN // AB′. Vậy mặt phẳng(MNP) song song với mặt phẳng (ACB’) và do đó MN // (ACB′)
b) Vì mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ACB’) nên hai mặt phẳng đó cắt các mặt bên của hình hộp theo các giao tuyến song song.
Ta vẽ NQ // CB′, QR // C′A′ ((// CA), RS //AB′ (//PN) và tất nhiên SM // QN. Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’) là hình lục giác MPNQRS có các cạnh đối diện song song với nhau từng đôi một: MP // RQ, PN //SR, NQ // MS.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B’C’ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’ bằng
A. 5 a
B. 5 a 5 .
C. 3a
D. a 3 .
Đáp án D.
Gọi P là trung điểm của C’D’ suy ra d = d O ; M N P
Dựng:
O A ⊥ N P ; OF ⊥ ME ⇒ d=OF= M O . N E M O 2 + N E 2
trong đó
M O = a ; N E = a 2 4 ⇒ d = a 3 .