\(\Leftrightarrow x^2-4x+5+3\sqrt{x^2-4x+5}-2=0\)

Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2+3t-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}\\t=\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2-4x+5=\dfrac{13-3\sqrt{17}}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+\dfrac{-3+3\sqrt{17}}{2}=0\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4^2-2\left(\dfrac{-3+3\sqrt{17}}{2}\right)=19-3\sqrt{17}\)

Ta có  x − 1 x − 3 + 3 x 2 − 4 x + 5 − 2 = 0

⇔ x 2 − 4 x + 5 + 3 x 2 − 4 x + 5 − 4 = 0

⇔ x 2 − 4 x + 5 − 1 x 2 − 4 x + 5 + 4 = 0

⇔ x 2 − 4 x + 5 = 1 x 2 − 4 x + 5 = − 4    ( V N )

⇔ x 2 − 4 x + 5 = 1 ⇔ x 2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ x = 2

Vậy tổng bình phương các nghiệm là 2 2 = 4

Đáp án cần chọn là: B

1.

Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\Rightarrow x^2-4x=t^2-5\)

Pt trở thành:

\(4t=t^2-5+2m-1\)

\(\Leftrightarrow t^2-4t+2m-6=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb đều lớn hơn 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-\left(2m-6\right)>0\\\left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}>1\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-2m>0\\t_1t_2-\left(t_1+t_1\right)+1>0\\t_1+t_2>2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 5\\2m-6-4+1>0\\4>2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{2}< m< 5\)

2.

Để pt đã cho có 2 nghiệm:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\\Delta'=1+4\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ge\dfrac{11}{4}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{8}{m-3}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{2}{m-3}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{m-3}=-1-\sqrt{2}\\\dfrac{1}{m-3}=-1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4-\sqrt{2}< \dfrac{11}{4}\left(loại\right)\\m=4+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

3.

Nối AI kéo dài cắt BC tại D thì D là chân đường vuông góc của đỉnh A trên BC

\(\Rightarrow\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{c}{b}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BD}=\dfrac{c}{b}\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{IB}=\dfrac{c}{b}\left(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{ID}\right)\)

\(\Leftrightarrow b.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{IC}=\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}\) (1)

Mặt khác:

\(\dfrac{ID}{IA}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{BD+CD}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}=\dfrac{a}{b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=-a.\overrightarrow{IA}\) (2)

(1); (2) \(\Rightarrow a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}-\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)

1C

3A

4C

5C

6A

9C

10C

1.C

2.

3.A

4.C

5.C

6.A

7.

8.

9.C

10.C

Ta có: ∆ = 1 2  -4.5.2 = 1 - 40 = -39 < 0

1/ nhân 4 cả 2 vế lên, vế trái sẽ trở thành (2x+1)(2x+2)^2(2x+3), nhân 2x+1 với 2x+3, cái bình phương phân tích ra
thành (4x^2+8x+3)(4x^2+8x+4)=72
đặt 4x^2+8x+4=a \(\left(a\ge0\right)\)

thay vào ta có (a-1)a=72 rồi bạn phân tích thành nhân tử sẽ có nghiệm là 9 và -8 loại được -8 thì nghiệm của a là 9
suy ra 2x+1=3 hoặc -3, tính ra được x rồi nhân vào với nhau

2/\(\Leftrightarrow5\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=2\left[\left(x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)\right]\)

đặt căn x+1=a, căn x^2-x+1=b (a,b>=0)
thay vào ra là \(2a^2-5ab+2b^2=0\\ \Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(2a-b\right)=0\)

suy ra a=2b hoặc b=2a, thay cái kia vào bình phương lên giải nốt phương trình rồi nhân nghiệm với nhau

Nghiệm nguyên.

2x+3=(2x+1)+2

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left[\left(2x+1\right)\left(x+1\right)\right]^2+2\left(2x+1\right)\left(x+1\right)^2=18\\ \)

2x+1 luôn lẻ---> x+1 phải chẵn --> x phải lẻ---> x=2n-1

\(\left(4n+3\right)\left(2n\right)^2\left(4n+1\right)=18\)

18 không chia hết co 4 vậy vô nghiệm nguyên.

Viết diễn dải dài suy luận logic rất nhanh

câu 2.

\(2\left(x^2+2\right)>0\forall x\) thực tế  >=4  không cần vì mình cần so sánh với 0

\(\left(2\right)\Leftrightarrow25\left(x^3+1\right)=4\left(x^2+2\right)^2\)

Vậy đáp số là (16-25)/4=-9/4