giup mình vơi bài này
cho x khác 0,y khác 0,zkhác 0
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\)và x=y+z
chứng minh rằng:\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)=1
Cho x,y,z khác 0 thõa mãn x+y+z=0 . Chứng mình rằng :
\(\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\)
xét bình phương biểu thức trong dấu giá tri tuyetj đối
Bình phường hai vế lên ta có :
\(\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}^2=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|^2\)
Xét: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2.\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
mà \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{z+x+y}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\)
Chứng minh rằng nếu \(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\) với x khác y, yz,xz khác 1, x, y, z khác 0 thì \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Cho 3 số x, y, z khác nhau và khác 0 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(CM:\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}=0\)
Giúp mình nha!!
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp'ppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppp
Tao co:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow yz+xz+xy=0\)
\(Suyra:yz=-xz-xy;xz=-yz-xy;xy=-yz-xz\)
\(\Rightarrow x^2+2yz=x^2+yz-xz-xy=x\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\)
\(\Rightarrow y^2+2xz=y^2+xz-yz-xy=z\left(x-y\right)-y\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(z-y\right)\)
\(\Rightarrow z^2+2xy=z^2+xy-yz-xz=z\left(z-y\right)-x\left(z-y\right)=\left(z-y\right)\left(z-x\right)\)
\(Thay:\frac{1}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{1}{\left(x-y\right)\left(z-y\right)}+\frac{1}{\left(z-y\right)\left(z-x\right)}\)
\(=\frac{z-y+x-z-x+y}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}=0\left(dpcm\right)\)
^^
Bài 71. Cho x , y , z khác 0 và x + y + z \(\ne\)0 . Chứng minh rằng :
Nếu \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\) thì \(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}\) .
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+3xyz-xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y+xy^2\right)+\left(yz^2+z^2x\right)+\left(zx^2+2xyz+y^2z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+z^2+yz+zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x = -y hoặc y = -z hoặc z = -x
Không mất tổng quát giả sử x = -y, khi đó:
\(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=-\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{z^{2015}}\)
\(\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}=\frac{1}{-y^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}=\frac{1}{z^{2015}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}\)
Chứng minh rằng:
a, nếu x+y=1 thì \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}=0\)
b, nếu x,y,z khác -1 thì\(\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2y+1}{yz+z+y+1}+\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}=3\)
c, Cho x,y,z đôi một khác nhau thỏa mãn\(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0\) thì\(\frac{x}{\left(y-z\right)^2}+\frac{y}{\left(z-x\right)^2}+\frac{z}{\left(x-y\right)^2}=0\)
Tính \(\frac{1}{y^2+z^2-x^2}\)+\(\frac{1}{x^2+y^2-z^2}\)+\(\frac{1}{x^2+z^2-y^2}\)
2. Cho x,y,z khác 0 ,\(\frac{1}{x}\)-\(\frac{1}{y}\)-\(\frac{1}{z}\)=1 và x=y+z
chứng minh: \(\frac{1}{x^2}\)+\(\frac{1}{y^2}\)+\(\frac{1}{z^2}\)=1
bài 1 ta có x+y+z=0 suy ra y+z=-x
(-x)2=x2=(y+z)2=y2+2yz+z2
suy ra
\(\frac{1}{y^2+z^2-x^2}=\frac{1}{-2yz}\)
tương tự ta có \(\frac{1}{-2yz}+\frac{1}{-2xy}+\frac{1}{-2xz}=\frac{-1}{2}\left(\frac{x+z+y}{xyz}\right)=\frac{-1}{2}\left(\frac{0}{xyz}\right)\)
bài 2 bạn ghi đề không rõ ràng nên mình không giải
Tại sao lại \(\frac{1}{y^2+z^2-x^2}\)=\(\frac{1}{-2yz}\)
Cho x khác 0, y khác 0, z khác 0 và\(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\)
và x = y + z. CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đề bài có vấn đề bạn nhé !
Đẳng thức <=>1/x+1/y+1/z=1/x-1/y-1/z
<=>2(1/y+1/z)=0
<=> (y+z)/yz=0
<=> y+z=0 do yz khác 0 (đk)
<=> x=0 do x=y+z
đến đây thì vô lí nhé do x khác 0 (đk)
CHo x khác 0 , y khác 0 và z khác 0 , \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\) = 1 và x = y + z .
CMR : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) = 1
Đề sai nhá đáng nẽ là ; CMR : \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)
Vì \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\)
Bình phương cả hai vế ta có : \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(-\frac{1}{xy}+-\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\frac{x-y-z}{zyz}=1\)
Vì x = y + z => x - y - z = 0
Nên : \(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+0=1\)
Vậy \(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)(đpcm)
Nếu đề đúng như you nói : \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)thì tui có another way :
\(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right)^2=1\)
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}-\frac{2}{xz}=1\)
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{2}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{2}{yz}=1\)
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{2}{x}\cdot\frac{\left(y+z\right)}{yz}+2yz=1\)
Mà x = y+z nên \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\left(đpcm\right)\)
Cho x,y,z là các số khác 0 và \(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\). Chứng minh rằng :
Hoặc x = y = z hoặc x2y2z2=1