Ta có: \(x^2-2\left(3m-1\right)x+m+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow f\left(m\right)=\left(-6x+1\right)m+x^2+2x+3\ge0\)

Ta thấy \(f\left(m\right)\) là hàm số bậc nhất mà \(x\in[1;+\infty)\Rightarrow-6x+1< 0\)

\(\Rightarrow\) Hàm \(f\left(m\right)\) nghịch biến

Từ giả thiết \(m\le1\Rightarrow f\left(m\right)\ge f\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2\left(3m-1\right)x+m+3\ge\left(x-2\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

Hệ điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\left(m-1\right)^2-\left(3m+6\right)\left(m+1\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\-2m^2-11m-5\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m\le-5\\m\ge-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge-\frac{1}{2}\)

Lời giải:

Để $x^2-2(m-1)x+3m-5\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ thì:

$\Delta'\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow (m-1)^2-(3m-5)\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow m^2-5m+6\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow (m-2)(m-3)\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 2\leq m\leq 3$

Điều đó xảy ra khi và chỉ khi:

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-3\left(-2m^2+3m-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow m^2+m+1\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\le0\)

Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài

\(a=1>0\) ; \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m-2\right)=\left(m-2\right)\left(m-3\right)\)

a/ Để \(f\left(x\right)\le0\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow x_1\le0< 1\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\le0\\1-\left(m-2\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn

Do đó các câu c, f cũng không tồn tại m thỏa mãn

b/ TH1: \(\Delta< 0\Rightarrow2< m< 3\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=0\\-\frac{b}{2a}\notin\left(0;1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\end{matrix}\right.\)

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left[{}\begin{matrix}0\le x_1< x_2\\x_1< x_2\le1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Delta>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< 2\end{matrix}\right.\)

\(0\le x_1< x_2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\ge0\\\frac{x_1+x_2}{2}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\ge0\\m-2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>2\) \(\Rightarrow m>3\)

\(x_1< x_2\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)\ge0\\\frac{x_1+x_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-m\ge0\\m-2< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m

Kết hợp 3 TH \(\Rightarrow m\ge2\)

d/ Tương tự như câu b, nhưng

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=0\\-\frac{b}{2a}\in\left[0;1\right]\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left[{}\begin{matrix}0< x_1< x_2\\x_1< x_2< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m>3\)

Kết hợp 3 TH \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2< m< 3\\m>3\end{matrix}\right.\)

e/

TH1: \(\Delta\le0\Rightarrow2\le m\le3\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left[{}\begin{matrix}0\le x_1< x_2\\x_1< x_2\le1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>3\)

\(\Rightarrow m\ge2\)