Cho M=(a/b+c)+(b/a+c)+(c/a+b), a,b,c là các số nguyên dương.
a) Chứng minh: M<1
b) M có phải số nguyên không?
MÌNH CẦN CÂU A GẤP, LÀM ĐC CÂU B THÌ CÀNG TỐT, HỨA SẼ TICK AI ĐÚNG!! GIÚP VỚI :((
cho M=a/a+b+b/b+c+c/c+a với a, b,c là các số nguyên dương bất kì . Chứng minh rằng M không thể là số nguyên
M=a/a+b+b/b+c+c/c+a vs a,b,c lớn hơn 0
M=1+b+1+c+1+a=3+a,b,c
M là số nguyên
Ta có a/b+c+b/a+c+c/a+b > a/a+b+c+b/b+c+a+c/b+c+a=a+b+c/a+b+c=1
=>M>1
Lại có M=(1-b/a+b)+(1- c/b+c)+(1-c/a+c)<3-(b/a+b+c+c/b+c+a+a/c+a+b)=3-1=2
=>M < 2
do đo 1<M<2=>đpcm
Bn vào đây:http://olm.vn/hoi-dap/question/431454.html
Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng: M=a/a+b + b/b+c + c/c+a không là số nguyên
ta cần chứng minh nó lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2
Do a;b;c và d là các số nguyên dương =>
a + b + c < a + b + c + d
a + b + d < a + b + c + d
a + c + d < a + b + c + d
b + c + d < a + b + c + d
=> a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1)
b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2)
c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3)
d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4)
Từ (1);(2);(3) và (4)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1
=> B > 1 (*)
Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad
= bd + cd
Do a;b;c và d là số nguyên dương
=> bd + cd > 0
=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0
=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d)
=> (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5)
Chứng minh tương tự ta được:
(b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6)
(a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7)
(b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8)
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được:
(a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d)
=> (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > B
=> 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > B
=> 2 > B (*)(*)
Từ (*) và (*)(*)
=> 1 < B < 2
=> B không phải là số nguyên
Ta có: a/a+b <a/a+b+c (1)
b/b+c <b/a+b+c (2)
c/c+a <c/a+b+c (3)
Từ (1),(2),(3) => a/a+b + b/b+c + c/c+a > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c
= a+b+c/a+b+c
=1
VẬY : M>1
Ta có :
a/a+b < a+c/a+b+c (1)
b/b+c < b+a/a+b+c (2)
c/c+a < c+b/a+b+c (3)
Từ (1),(2),(3) => a/a+b + b/b+c + c/c+a < a+c/a+b+c + b+a/a+b+c + c+a/a+b+c
= 2.(a+b+c)/a+b+c
= 2
=> 1<M<2
=> M không phải là số nguyên
Cho M = a\(a+b) +b\(b+c) +c\(c+a) vối a, b ,c là các số nguyên dương bất kì.
Chứng minh rằng M không thể là số nguyên.
M=a/a+b+b/b+c+c/c+a vs a,b,c lớn hơn 0
M=1+b+1+c+1+a=3+a,b,c
M là số nguyên
cho a,b,c dương.a+b+c=0. chứng minh (a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)>=1
cho M= a/a+b + b/b+c + c/c+a
với a, b,c là các số nguyên dương bất ki Chứng minh rằng M
không thể là số nguyên
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{cases}}\)=> \(M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
=> M > 1 (1)
Lại có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}< \frac{b+c}{a+b+c}\end{cases}\Rightarrow M< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2}\)
=> M < 2 (2)
Từ (1) và (2) => 1 < M < 2 => M không phải là số chính phương
Xin lỗi bạn Lê Thê Hiếu nha
Kết luật phải là M không phải là số nguyên
+)Ta có:M=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
+)Ta thấy:\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow M>1\left(1\right)\)
+)Ta lại có:M=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
+)Ta thấy :\(\frac{a}{a+b}< 1;\frac{b}{b+c}< 1;\frac{c}{c+a}< 1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{a+c+a+b+b+c}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow M< 2\left(2\right)\)
+)Từ (1)và (2)
\(\Rightarrow1< M< 2\)
=>M không là số nguyên (ĐPCM)
Chúc bn học tốt
Cho M = (a+b)(b+c)(c+a) - abc (với a,b,c là các số nguyên)
Chứng minh rằng: Nếu a+b+c chia hết cho 4 thì M chia hết cho 4
Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2+abc+abc)-abc
=(a2b+ab2+abc)+(a2c+ac2+abc)+(b2c+bc2+abc)-2abc
=ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc
=(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc
thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4 (1)
Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4 (2)
Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4
Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2+abc+abc)-abc
=(a2b+ab2+abc)+(a2c+ac2+abc)+(b2c+bc2+abc)-2abc
=ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc
=(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc
thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4 (1)
Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4 (2)
Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4
Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2+abc+abc)-abc
=(a2b+ab2+abc)+(a2c+ac2+abc)+(b2c+bc2+abc)-2abc
=ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc
=(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc
thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4 (1)
Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4 (2)
Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4
Cho M=a/a+b + b/b+c + c/c+a với a,b,c là số nguyên dương bất khì.
Chứng minh M ko thể là số nguyên.
Cho M=(a/b+c)+(b/a+c)+(c/a+b), a,b,c là các số nguyên dương.
a) Chứng minh: M<1
b) M có phải số nguyên không?
MÌNH CẦN CÂU A GẤP, LÀM ĐC CÂU B THÌ CÀNG TỐT, HỨA SẼ TICK AI ĐÚNG!! GIÚP VỚI :((
Cho a, b, c, d, m ,n là các số nguyên dương thoả mãn: a^3 + b = c^3 +d = m^3+n. Chứng minh rằng: Q = b^3 + a + d^3 + c + n^3 + m là hợp số
Đặt \(a^3+b=c^3+d=m^3+n=k\)
\(a^3\equiv a\left(mod3\right)\Rightarrow a^3+b\equiv a+b\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow a+b\equiv k\left(mod3\right)\)
Tương tự: \(c+d\equiv k\left(mod3\right)\) ; \(m+n\equiv k\left(mod3\right)\)
Lại có:
\(b^3\equiv b\left(mod3\right)\Rightarrow b^3+a\equiv a+b\left(mod3\right)\)
Tương tự ...
\(\Rightarrow Q\equiv a+b+c+d+m+n\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow Q\equiv k+k+k\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow Q\equiv3k\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow Q⋮3\)
Mà hiển nhiên Q>3 nên Q là hợp số