Cho ba số thực dương a,b,c
CMR : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\ge4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
Cho các số dương a,b,c CMR
\(\frac{7}{a}+\frac{5}{b}+\frac{4}{c}\ge4\left(\frac{4}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{3}{c+a}\right)\)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x;y>0\right)\) (tự c/m ha)
\(\frac{7}{a}+\frac{5}{b}+\frac{4}{c}=\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{c}\right)\)
\(=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\ge4.\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+3.\frac{4}{a+c}=4\left(\frac{4}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{3}{c+a}\right)\)
Dấu "=" <=> a = b = c
cho a,b,c là các số dương .CMR:
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Cho a,b,c là các số dương ,CMR:
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
a) \(4x^3-25x^2+43x+x\sqrt{3x-2}=22+\sqrt{3x-2}\)
b)Cho a,b,c là các số thực dương. CMR
\(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
tự tìm đkxđ
\(\Leftrightarrow\left(4x^3-8x^2+4x\right)+\left(-17x^2+39x-22\right)+\left(x+\sqrt{3x-2}-\sqrt{3x-2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4x.\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)\left(-17x+22\right)+\sqrt{3x-2}\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x^2-4x-17x+22+\sqrt{3x-2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\) tự chứng minh vế kia >=0 đi :D
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn rằng \(a+b+c=3\) . Chứng minh rằng:
\(\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)^2\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Từ bất đẳng thức Cô si ta có:
\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\left[\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh:
\(\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)nên bất đẳng thức cuối cùng đùng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
sai r bạn ơi ko biết còn đòi
cho a b c là ba số dương cmr
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\ge\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
giả sử a\(\le\)b \(\le\)c.
khi đó \(\frac{a}{b+c}\le\frac{b}{c+a}\le\frac{c}{a+b}\)
áp dụng BĐT Trê bư sép ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\le3\left(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\right)=3VT\)
lại có a2 + b2 + c2 \(\ge\) \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) nên:
3VT \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
hay VT \(\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\). đpcm
Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi bất kì.Chứng minh rằng:
\(\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\right)^2\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Cập nhật ngày 28/9/2019 lúc 8:53: Bài này được đăng lại là do mình lướt lịch sử hỏi đáp thấy bài này hay hay mà chưa ai trả lời mà mình ko muốn nhai lại nên đào lại:D
\(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\)
\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)
\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
mà \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(dễ chứng minh)
chứng minh tương tự ta có
\(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\)\(\ge\)6
\(\left(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\right)^2\ge6^2=36\)(2) (a>0; b>0; c>0)
tiếp theo chứng minh
\(36\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(18\ge2\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(18a^2+18b^2+18c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(16\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(16\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (bất đẳng thức luôn đúng )
suy ra bất đẳng thức
\(36\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)luôn đúng (2)
từ (1) và (2) suy ra
\(\left(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\right)^2\ge\text{}\text{36}\ge\)\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Cho 3 số thực dương a, b, c. CMR: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\) thì \(\frac{\left(a+b\right)^3}{c^3}+\frac{\left(b+c\right)^3}{a^3}+\frac{\left(c+a\right)^3}{b^3}=24\)
a + b + c = 3
a/( 1 + b^2 ) + b/( 1 + c^2 ) + c/( 1 + a^2 ) ≥ 3/2
Ta có
a/( 1 + b^2 ) = a - ab^2/( 1 + b^2 ) ≥ a - ab^2/2b = a - ab/2
Tương tự ta có
b/( 1 + c^2 ) ≥ b - bc/2
c/( 1 + a^2 ) ≥ c - ac/2
Cộng vào ta có
a/( 1 + b^2 ) + b/( 1 + c^2 ) + c/( 1 + a^2 ) ≥ a + b + c - ( ab + bc + ac )/2 = 3 - ( ab + bc + ac )/2
Xét ab + bc + ac
Ta có
a^2 + b^2 ≥ 2ab
b^2 + c^2 ≥ 2bc
c^2 + a^2 ≥ 2ac
=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ac
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ac + 2bc + 2ab ≥ 3( ab + ac + bc )
<=> ( a + b + c )^2 ≥ 3( ab + ac + bc )
<=> ab + ac + bc ≤ 9:3 = 3
=> 3 - ( ab + bc + ac )/2 ≥ 3 - 3/2 = 3/2
=> a/( 1 + b^2 ) + b/( 1 + c^2 ) + c/( 1 + a^2 ) ≥
Theo dãy tỉ số bằng nhau , có :
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{b+c}{a}\right)^3=\left(\frac{c+a}{b}\right)^3=\left(\frac{a+b}{c}\right)^3=8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(b+c\right)^3}{a^3}+\frac{\left(c+a\right)^3}{b^3}+\frac{\left(a+b\right)^3}{c^3}=8.3=24\)
Cho a, b, c là 3 số thực dương. CMR
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{\left(c+a\right)^2}{ca}\ge9+2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{\left(c+a\right)^2}{ac}=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+6\)
\(bđt\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge3+2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\right)\)
Mà: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\right)\ge3\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\ge\frac{3}{2}\)
bđt cuối đúng theo Nesbit. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c