Đề đúng: \(cos^2\alpha-cos^2\beta=sin^2\beta-sin^2\alpha=\dfrac{1}{1+tan^2\alpha}-\dfrac{1}{1+tan^2\beta}\)

Áp dụng công thức: \(sin^2x+cos^2x=1\Rightarrow cos^2x=1-sin^2x\)

Ta có:

\(cos^2\alpha-cos^2\beta=\left(1-sin^2\alpha\right)-\left(1-sin^2\beta\right)=-sin^2\alpha+sin^2\beta=sin^2\beta-sin^2\alpha\) (1)

Lại có:

\(cos^2\alpha-cos^2\beta=\dfrac{cos^2\alpha}{1}-\dfrac{cos^2\beta}{1}=\dfrac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}-\dfrac{cos^2\beta}{sin^2\beta+cos^2\beta}\)

\(=\dfrac{\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\alpha}}{\dfrac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}+\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\alpha}}-\dfrac{\dfrac{cos^2\beta}{cos^2\beta}}{\dfrac{sin^2\beta}{cos^2\beta}+\dfrac{cos^2\beta}{cos^2\beta}}=\dfrac{1}{tan^2\alpha+1}-\dfrac{1}{tan^2\beta+1}\) (2)

(1);(2) suy ra đpcm

\(A=tan\left(a+b\right)=tan\frac{\pi}{4}=1\)

Ta có: \(tan\left(a+b\right)=\frac{tana+tanb}{1-tana.tanb}\)

\(\Rightarrow B=tana+tanb=tan\left(a+b\right)\left(1-tana.tanb\right)=1.\left(1-3+2\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}-2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}tana+tanb=2\sqrt{2}-2\\tana.tanb=3-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, \(tana;tanb\) là nghiệm của:

\(x^2-\left(2\sqrt{2}-2\right)x+3-2\sqrt{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{2}+1\right)^2=0\Rightarrow x=\sqrt{2}-1\)

\(\Rightarrow tana=tanb=\sqrt{2}-1\Rightarrow a=b=\frac{\pi}{8}\)

1.

Ý tưởng thế này: nhìn vế trái phần đáp án có \(tan\left(a+b\right)\) nên cần biến đổi giả thiết xuất hiện \(sin\left(a+b\right)\) , vậy ta làm như sau:

\(sina.cos\left(a+b\right)=sin\left(a+b-a\right)\)

\(\Leftrightarrow sina.cos\left(a+b\right)=sin\left(a+b\right).cosa-cos\left(a+b\right).sina\)

\(\Leftrightarrow2sina.cos\left(a+b\right)=sin\left(a+b\right).cosa\)

\(\Rightarrow2tana=tan\left(a+b\right)\)

2.

Đây là 1 dạng cơ bản, nhìn vào lập tức cần ghép x với 3x (đơn giản vì \(\frac{x+3x}{2}=2x\))

\(A=\frac{sin3x-sinx+cos2x}{cosx-cos3x+sin2x}=\frac{2cos2x.sinx+cos2x}{2sin2x.sinx+sin2x}=\frac{cos2x\left(2sinx+1\right)}{sin2x\left(2sinx+1\right)}\)

\(=\frac{cos2x}{sin2x}=cot2x\)