Cho 2 số chính phương liên tiếp.Chứng minh rằng tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là 1 số chính phương lẻ
cho 2 số chính phương liên tiếp.chứng minh tổng đố cộng với tích của chúng là 1 số chính phương lẻ
(làm chi tiết cho mình nha,thanks)
Gọi hai số chính phương liên tiếp lần lượt là \(n^2,\left(n+1\right)^2\) (\(n\in N^{\text{*}}\))
Ta có : \(n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2=n^2\left(n+1\right)^2+n^2+\left(n^2+2n+1\right)\)
\(=n^2\left(n+1\right)^2+2n\left(n+1\right)+1=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)
Dễ thấy n(n+1) chia hết cho 2 vì là tích của hai số tự nhiên liên tiếp => n(n+1) là số chẵn => n(n+1) + 1 là số lẻ
\(\Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\) là một số chính phương lẻ.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
cho 2 số chính phương liên tiếp . Chúng minh rằng tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là 1 số chính phương lẻ .
Gọi hai số chính phương liên tiếp là \(k^2\)và \(\left(k+1\right)^2\)
Ta có: \(k^2+\left(k+1\right)^2+k^2\left(k+1\right)^2\)
\(=k^2+k^2+2k+1+k^4+2k^3+k^2\)
\(=k^4+2k^3+3k^2+2k+1=\left(k^2+k+1\right)^2\)
\(=\left[k\left(k+1\right)+1\right]^2\)là số chính phương lẻ
Vậy tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là 1 số chính phương lẻ ( đpcm )
Cho 2 số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng: tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là 1 số chính phương lẻ
gọi 2 số chính phương liên tiếp là k^2 và (k + 1)^2
theo đề bài ta có :
k^2 + (k+1)^2 + k^2(k+1)^2
= k^2 + k^2 + 2k + 1 + k^2(k^2 + 2k + 1)
= 2k^2 + 2k + 1 + k^4 + 2k^3 + k^2
= k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1
= k^4 + k^2 + 1 + 2k^3 + 2k^2 + 2k
= (k^2 + k + 1)^2
= [k(k+1)+1]^2
k(k+1) chia hết cho 2 (2 số tự nhiên liên tiếp) => k(k+1) +1 lẻ
=> [k(k+1)+1)^2 là số chính phương lẻ
Giả sử hai số chính phương liên tiếp đó là \(a^2,\left(a+1\right)^2\)
Ta có : \(a^2+\left(a+1\right)^2+a.\left(a+1\right)\)
\(=a^2+a^2+2a+1+a^2+a\)
\(=3a^2+3a+1\)
.....
Cho 2 số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng 2 số đó cộng với tích của chúng là 1 số chính phương lẻ.
Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
Gọi 2 số chính phương liên tiếp đó là \(n^2,\left(n+1\right)^2\). Ta có:
\(P=n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)
\(=n^2+n^2+2n+1+n^2\left(n^2+2n+1\right)\)
\(=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\)
Ta có \(\dfrac{P}{n^2}=n^2+2n+3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\)
\(=\left(n+\dfrac{1}{n}\right)^2+2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)+1\)
\(=\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)^2\)
\(\Rightarrow P=\left[n\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)\right]^2=\left(n^2+n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)
Dễ dàng kiểm chứng được \(2|n\left(n+1\right)\), do đó \(n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ, suy ra đpcm.
Hai số chính phương liên tiếp là \(n^2;\left(n+1\right)^2\)
Theo đề ta có :
\(n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)
\(=n^2+n^2+2n+1+n^4+2n^3+n^2\)
\(=\left(n^4+n^3+n^2\right)+\left(n^3+n^2+n\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=\left(n^2+n+1\right)^2\)
\(=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)
mà \(n\left(n+1\right)⋮2\) (là 2 số tự nhiên liên tiếp)
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ
\(\Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\) là số chính phương lẻ
\(\Rightarrow dpcm\)
Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ
cho 2 số chính phương liên tiếp . Chứng minh tổng 2 số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ
a) Chứng tỏ rằng phương trình: mx – 3 = 2m – x – 1 luôn nhận x = 2 làm nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là
một số chính phương lẻ
\(a)\) \(Thay\) \(x=2\) \(\text{ vào }\)\(PT:\)
\(2m-3=2m-2-1.\\ \Leftrightarrow2m-3-2m+2+1=0.\)
\(\Leftrightarrow0=0\) (luôn đúng).
\(\Rightarrow\) PT luôn nhận x = 2 làm nghiệm với mọi giá trị của m.
Cho 2 số chính phương liên tiếp. CMR tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.