Chứng minh rằng phân số dưới đây là phân số tối giản
a\(\frac{n}{n+1}\) b\(\frac{2n+2}{2n+3}\)
c\(\frac{3n+4}{2n+5}\) d\(\frac{2n+3}{2n+5}\)
a,Chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản, với n là số tự nhiên: \(\frac{n-1}{3-2n}\); \(\frac{3n+7}{5n+12}\)
b,Tìm các số nguyên n để các phân số sau nhận giá trị nguyên: \(\frac{2n+5}{n-1}\); \(\frac{2n+1}{3n-2}\)
a) *) \(\frac{n-1}{3-2n}\)
Gọi d là ƯCLN (n-1;3-2n) (d\(\inℕ\))
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n-1⋮d\\3-2n⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n-2⋮d\\3-2n⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}\left(2n-2\right)+\left(3-2n\right)⋮d}\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\left(d\inℕ\right)\Rightarrow d=1\)
=> ƯCLN (n-1;3-2n)=1
=> \(\frac{n-1}{3-2n}\)tối giản với n là số tự nhiên
*) \(\frac{3n+7}{5n+12}\)
Gọi d là ƯCLN (3n+7;5n+12) \(\left(d\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+7⋮d\\5n+12⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+35⋮d\\15n+36⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}\left(15n+36\right)-\left(15n+35\right)⋮d}\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\left(d\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow d=1\)
=> ƯCLN (3n+7;5n+12)=1
=> \(\frac{3n+7}{5n+12}\) tối giản với n là số tự nhiên
b) *) \(\frac{2n+5}{n-1}\left(n\ne1\right)\)
\(=\frac{2\left(n-1\right)+7}{n-1}=2+\frac{7}{n-1}\)
Để \(\frac{2n+5}{n-1}\) nhận giá trị nguyên => \(2+\frac{7}{n-1}\) nhận giá trị nguyên
2 nguyên => \(\frac{7}{n-1}\)nguyên
=> 7 chia hết cho n-1
n nguyên => n-1 nguyên => n-1\(\inƯ\left(7\right)=\left\{-7;-1;1;7\right\}\)
Ta có bảng
n-1 | -7 | -1 | 1 | 7 |
n | -6 | 0 | 2 | 8 |
vậy n={-6;0;2;8} thì \(\frac{2n+5}{n-1}\) nhận giá trị nguyên
Chứng minh các phân số sau đây là tối giản:
a) \(\frac{n+4}{n+3}\)
b) \(\frac{n-1}{n-2}\)
c) \(\frac{2n+3}{4n+7}\)
d) \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)
Chứng minh rằng các phân số sau tối giản
a) \(\dfrac{2n+7}{2n+3}\) (n ∈ N)
b)\(\dfrac{6n+5}{8n+7}\)(n ∈ N)
c)\(\dfrac{2^{2024}+3}{2^{2023}+1}\) tối giản
a: Gọi d=ƯCLN(2n+7;2n+3)
=>2n+7 chia hết cho d và 2n+3 chia hết cho d
=>2n+7-2n-3 chia hết cho d
=>4 chia hết cho d
mà 2n+7 lẻ
nên d=1
=>PSTG
b: Gọi d=ƯCLN(6n+5;8n+7)
=>4(6n+5)-3(8n+7) chia hết cho d
=>-1 chia hết cho d
=>d=1
=>PSTG
chứng tỏ rằng với mọi n \(\in\)N thì các phân số sau là phân số tối giản
a, \(\frac{n+1 }{2n+3}\)
b, \(\frac{2n+1}{3n+2}\)
c, \(\frac{14n+3}{21n+5}\)
d,\(\frac{25n+7}{15n+4}\)
a) Gọi ƯCLN(n + 1 ; 2n + 3) = d
=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
=> n + 1 ; 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản
b) Gọi ƯCLN (2n + 1 ; 3n + 2) = d
=> \(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+1\right)⋮d\\2\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}}\Rightarrow6n+4-\left(6n+3\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
=> 2n + 1 ; 3n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{2n+1}{3n+2}\)là phân số tối giản
c) Gọi ƯCLN(14n + 3; 21n + 5) = d
Ta có : \(\hept{\begin{cases}14n+3⋮d\\21n+5⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(14n+3\right)⋮d\\2\left(21n+5\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}42n+9⋮d\\42n+10⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(42n+10\right)-\left(42n+9\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
=> 14n + 3 ; 21n + 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{14n+3}{21n+5}\) là phân số tối giản
d) Gọi ƯCLN(25n + 7 ; 15n + 4) = d
=> \(\hept{\begin{cases}25n+7⋮d\\15n+4⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6\left(25n+7\right)⋮d\\10\left(15n+4\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}150n+42⋮d\\150n+40⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(150n+42\right)-\left(150n+40\right)⋮d\Rightarrow2⋮d\)
=> \(d\in\left\{1;2\right\}\)
Nếu n lẻ => 2n + 7 chẵn ; 15n + 4 lẻ
=> ƯCLN(2n + 7 ; 5n + 4) = 1
Nếu n chẵn => 25n + 7 lẻ ; 15n + 4 chẵn
=> ƯCLN(2n + 1 ; 15n + 4) = 1
=> d khái 2 <=> d = 1
=> \(\frac{2n+7}{15n+4}\)là phân số tối giản
Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mỗi số nguyên n :
a) \(\frac{3n+1}{5n+10}\)
b) \(\frac{12n+1}{30n+2}\)
c) \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)
d) \(\frac{2n+1}{2n^2-1}\)
Gọi UCLN của chúng là d rồi khử n là tìm được d=1 or d=-1
a/rút gọn n ta còn 3+1/5+10=4/15(tối giản suy ra đpcm)
b/tương tự như câu a nhưng thay số
c/rút gọn n còn 3+2/4+3^2+1=5/14( tối giản suy ra đpcm)
d/rút gọn n ta còn 2+1/2^2-1=3/3=1/1(tối giản suy ra đpcm)
Tèn ten xong nhưng ko bik đúng hay sai nha!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
cau c)
Gọi (n^3+2n ; n^4+3n^2+1) là d => n^3+2n chia hết cho d và n^4+3n^2+1 chia hết cho d
=> n(n^3+2n) chia hết cho d hay n^4+2n^2 chia hết cho d
do đó (n^4+3n^2+1) - (n^4+2n^2) chia hết cho d hay n^2 +1 chia hết cho d (1)
=> (n^2+1)(n^2+1) chia hết cho d hay n^4+2n^2+1 chia hết cho d
=> (n^4+3n^2+1) - (n^4+2n^2+1) chia hết cho d hay n^2 chia hết cho d (2)
Từ (1) và (2) => (n^2+1) - n^2 chia hết cho d hay 1 chia hết cho d
Do đó (n^3+2n ; n^4+3n^2+1) =1 hoặc -1 suy ra $$ là phân số tối giản (Đ.P.C.M)
hãy chứng tỏ mọi phân số có dạng :
\(\frac{n+1}{3n+2}\) , \(\frac{n+1}{2n+3}\) , \(\frac{2n+3}{3n+5}\)
đều là phân số tối giản
chưng minh tử và mẫu là nguyên tố cùng nhau
a) \(\frac{n+1}{3n+2}\)
Gọi d là ƯCLN của \(n+1;3n+2\)
\(\Rightarrow n+1⋮d;3n+2⋮d\)\(\Rightarrow3n+3⋮d;3n+2⋮d\)
\(\Rightarrow\left(3n+3\right)-\left(3n+2\right)⋮d\Rightarrow3n+3-3n-2⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(ƯCLN\left(n+1,3n+2\right)=1\Leftrightarrow\)\(\frac{n+1}{3n+2}\)là phân số tối giản.
b)c) Làm tương tự.
Chứng minh rằng hai phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
a) \(\frac{n+1}{2n+3}\).
b) \(\frac{2n+3}{4n+8}\).
c) \(\frac{3n+2}{5n+3}\).
a) ta chứng mk tử và mẫu là 2 số nguyên tố cùng nhau
mk làm mẫu 1 câu nha
Gọi d là UCLN(n+1;2n+3)
=>n+1 \(⋮\)<=>2(n+1)\(⋮\)d<=>4n+2 chia hết cho d
=>4n+3 chia hết cho d
=> 4n+3-4n-2 chia hết cho d
<=> 1 chia hết cho d=> d= 1
d=1=>\(\frac{n+1}{2n+3}\)tối giản
b) Gọi d là UCLN(2n+3;4n+8)
=>2n+3 \(⋮\)d<=>2(2n+3)\(⋮\)d<=> 4n+6 \(⋮\)d
=>4n+8\(⋮\)d
=>4n+8-4n-6\(⋮\)d<=>2 chia hết cho d=> d=1,2
mà 2n+3 là số lẻ nên ko có ước chẵn là 2=> d=1
vây \(\frac{2n+3}{4n+8}\)tối giản
a) Gọi d là ƯCLN(n + 1, 2n + 3), d ∈ N*
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(n+1,2n+3\right)=1\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản.
chứng minh rằng hai phân số sau tối giản với mợi số tự nhiên n:
a) \(\frac{n+1}{2n+3}\)
b)\(\frac{2n+3}{4n+8}\)
c)\(\frac{3n+2}{5n+3}\)
Tham khảo nha :
Chứng minh rằng 2 phân số tối giản vs mọi số tự nhiên n :
...p/s
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{\left(2n-1\right)}{2n}\le\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\) ( n là số nguyên dương)
A=4cm,B=6,C=10
Nếu A=4,B=6,C=10 thì A+B+C=4+6+10=20