a) Vì \(\Delta MNP\)cân tại M

=> \(MN=MP\)và \(\widehat{MPN}=\widehat{MNP}=70^0\)

=> \(\widehat{NMP}=180^0-\left(\widehat{MNP}+\widehat{MPN}\right)=180^0-\left(70^0+70^0\right)=180^0-140^0=40^0\)

b) Ta có : \(MN=MH+HN\)

                \(MP=MK+KP\)

Mà \(MN=MP,NH=KP\)=> \(MH=MK\)

Xét \(\Delta MHK\)có :

\(MH=MK\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta MHK\)cân tại M ( đpcm )

c) \(\Delta MHK\)cân tại M

=> \(\widehat{H}=\widehat{K}\)( hai góc ở đáy ) ( 1 )

Ta có : \(\widehat{M}+\widehat{H}+\widehat{K}=180^0\)

            \(40^0+\widehat{H}+\widehat{K}=180^0\)

            \(\widehat{H}+\widehat{K}=180^0-40^0=140^0\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => \(\widehat{H}=\widehat{K}=\frac{140^0}{2}=70^0\)

Ta có : \(\widehat{H}=\widehat{N}=70^0\)

mà hai góc ở vị trí đồng vị

=> \(HK//NP\)( đpcm )

* Hình ở Thống kê hỏi đáp *

Bạn vẽ hình vào nhé
a) Xét tg DEM có ME=DE( gt)

                            DI = IE( gt)

=> DI là dg tb tg DEM => DI//MD; DI =1/2 MD

     Xét tg DEN có DF=FN(gt)

                            DI = IE(gt)

=> FI là dg tb tg DEN=> FI//EN ; FI=1/2EN

Mà NE = MP(gt)=> 1/2NE=1/2MP=>DI =FI=> tg DFI cân tại I

Bạn sửa lại b thành I nhé( trong đề bài ý)

b) Ta có : ID// MD( ID là dg tb tg DEM)

=> IDN=DME.       (1)

Ta có FI// EN( FI là dg tb tg DEN)=> IFD=FDN(slt)

Mà IDF+FDN= IDN.          (2)
Ta lại có IFD=IDF( tg DIF cân tại I)     (3)

=> Từ (1) (2) (3) suy ra MNP= 2 IDF

a: Xét ΔEPM có 

I là trung điểm của EP

D là trung điểm của EM

Do đó: ID là đường trung bình của ΔEPM

Suy ra: \(ID=\dfrac{MP}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔEPN có 

F là trung điểm của NP

I là trung điểm của EP

Do đó: FI là đường trung bình của ΔEPN

Suy ra: \(FI=\dfrac{EN}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra ID=IF

Xét ΔIDF có ID=IF

nên ΔIDF cân tại I

a) xét \(\Delta MNP\)VUÔNG TẠI M CÓ

\(\Rightarrow NP^2=MN^2+MP^2\left(PYTAGO\right)\)

THAY\(NP^2=4^2+3^2\)

\(NP^2=16+9\)

\(NP^2=25\)

\(\Rightarrow NP=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

XÉT \(\Delta MNP\)CÓ

\(\Rightarrow NP>MN>MP\left(5>4>3\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{M}>\widehat{P}>\widehat{N}\)( QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN)

B) xét \(\Delta\text{ CPM}\)VÀ\(\Delta\text{CPA}\)CÓ

 \(PM=PA\left(GT\right)\)

\(\widehat{MPC}=\widehat{APC}=90^o\)

PC LÀ CAH CHUNG 

=>\(\Delta\text{ CPM}\)=\(\Delta\text{CPA}\)(C-G-C)

c)

\(\Delta CPM=\Delta CPA\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CMP}=\widehat{CPA}\left(\text{hai góc tương ứng}\right)\)

\(\text{Ta có: }\)\(\widehat{MNA}+\widehat{NAM}=90^o\left(\Delta MNA\perp\text{ tại M}\right)\)

             \(\widehat{NMC}+\widehat{CMP}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MNA}+\widehat{NAM}=\)\(\widehat{NMC}+\widehat{CMP}\)

\(\Rightarrow\widehat{MNA}=\widehat{NMC}\left(\widehat{CMP}=\widehat{NAM}\right)\)

\(Hay:\)\(\widehat{MNC}=\widehat{NMC}\)

\(\Rightarrow\Delta NMC\text{ cân}\)

\(\Rightarrow CN=CM\left(đpcm\right)\)

d)\(\Delta AMC\)CÂN\(\Rightarrow AC=MC\)

    \(\Delta MCN\)CÂN\(\Rightarrow MC=CN\)

=> AC=CN 

=> AC LÀ TRUNG TUYẾN CỦA \(\Delta MAN\)

MÀ MP=AP => NP LÀ TRUNG TUYẾN CỦA\(\Delta MAN\)

HAI ĐƯOG TRUNG TUYẾN NÀY CẮT NHAU TẠI G 

=> G LÀ TROG TÂM CỦA \(\Delta MAN\)

\(\Rightarrow NG=\frac{2}{3}NP\)

THAY \(\Rightarrow NG=\frac{2}{3}.5=\frac{10}{3}\approx3,3\left(cm\right)\)

a, xét tma giác MNE và tam giác MPE có :

MN = MP và góc MNE = góc MPE do tam giác MNP cân tại M (Gt)

NE = EP do E là trđ của NP (gt)

=> tam giác MNE = tam giác MPE (c-g-c)

=> góc MEN = góc MEP (đn)

mà góc MEN + góc MEP = 180 (kb)

=> góc MEN = 90

=> MN _|_ NP và có M là trđ của PN (Gt)

=> ME là trung trực của NP (đn)

b, xét tam giác MKE và tam giác MHE có : ME chung

góc NME = góc PME do tam giác MNE = tam giác MPE (Câu a)

góc MKE = góc MHE = 90

=> tam giác MKE = tam giác MHE (ch-cgv)

=> MK = MH (đn)

=> tam giác MHK cân tại M (đn)

=> góc MKH = (180 - góc NMP) : 2 (tc)

tam giác MNP cân tại M (Gt) => góc MNP = (180 - góc NMP) : 2 (tc)

=> góc MKH = góc MNP mà 2 góc này đồng vị

=> KH // NP (đl)

Hình tự vẽ :(
Gọi \(Q\) là giao điểm của \(HK\) và \(MN\)
\(\Rightarrow KQ\) là đường trung tuyến của \(\Delta MNK\Rightarrow QM=QN\)
Xét \(\Delta MNI\) và \(\Delta KNM\) \(\left(\widehat{M}=\widehat{K}=90^o\right)\)
ta có: \(\widehat{N}\) là góc chung
\(\Rightarrow\Delta MNI\sim\Delta KNM\) \(\left(g-g\right)\)
mà \(\Delta KNM\) là tam giác vuông cân tại \(\widehat{K}\) \(\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MNI\) là tam giác vuông cân tại \(\widehat{M}\)
\(\Rightarrow MN=MI\) \(\Rightarrow MI=5\)
mà \(MK\) là đường cao của \(\Delta MNI\) 
\(\Rightarrow MK\) cũng là trung tuyến của \(\Delta MNI\)
\(\Rightarrow KN=KI\)
Xét \(\Delta MNI\) ta có:
\(QN=QM\) \(\left(cmt\right)\)
\(KN=KI\) \(\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow QK\) là đường trung bình của \(\Delta MNI\)
\(\Rightarrow QK=\dfrac{MI}{2}=\dfrac{5}{2}\)
Xét \(\Delta MNP\) ta có:
\(QN=QM\) \(\left(cmt\right)\)
\(HN=HP\) (\(H\) là trung điểm của \(NP\))
\(\Rightarrow QH\) là đường trung bình của \(\Delta MNP\)
\(\Rightarrow QH=\dfrac{MP}{2}=\dfrac{13}{2}\)
Ta có \(QH=QK+HK\)
\(\Rightarrow HK=QH-QK=\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2}=4\)
Vậy \(HK=4\)