a/ Trọng tâm của tam giác cũng là tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.
ΔABC đều, AD là đường kính cũng là tia phân giác của góc BAC
⇒ góc BAD = góc DAC ⇒ cung BD = cung DC
⇒ góc BMD = góc DMC ⇒ MD là tia phân giác góc BMC.

b/
ΔACD vuông tại C (do nội tiếp dường tròn đường kính AD = 2R) có góc DAC =1/2 góc BAC = 30º nên là nửa tam giác đều ⇒ AC = R√3, DC = R
Diện tích ΔACD: 1/2AC*CD = 1/2R√3*R = √3R² /2
ΔACD = ΔABD (c.g.c) ⇒ dthtABCD =2dtΔACD = 2*√3R² /2 = √3R²

c/
Gọi I là giao điểm của AM và DB
góc ABD = góc AMD = 90º (2góc nội tiếp đường tròn đk AD)
⇒ AB, DM là hai đường cao của ΔIAD
K là trực tâm của tam giác nên IK ⊥ AD (1)

AC=AB ⇒ cung AC = cung AB ⇒ góc AMC = góc ADB hay góc AMH = góc HDI
góc AMH kề bù với góc HMI nên góc HMI + góc HDI = 180º
⇒ tứ giác IMHD nội tiếp đường tròn đường kính ID.
⇒ góc IMD = góc IHD = 90º
⇒ IH ⊥ AD (2)

Từ (1),(2) ⇒ I, H, K thẳng hàng
hay ba đường thẳng AM, BD, HK đồng quy tại I.

\(\widehat{BMD}=\widehat{BAD}\) (cùng chắn cung BD)

Tam giác ABD vuông tại B (do AD là đường kính)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=90^0-\widehat{BDA}\)

Mà \(\widehat{BDA}=\widehat{BCA}=60^0\) (cùng chắn cung AB và tam giác ABC đều nên \(\widehat{BCA}=60^0\))

\(\Rightarrow\widehat{BMD}=\widehat{BAD}=90^0-60^0=30^0\)

AB=AC

OB=OC

=>AO là trug trực của BC

=>AD là trung trực của BC

=>AD là phân giác của góc BAC

=>góc BAD=1/2*60=30 độ

=>góc BMD=30 độ

AB=AC

OB=OC

=>AO là trug trực của BC

=>AD là trung trực của BC

=>AD là phân giác của góc BAC

=>góc BAD=1/2*60=30 độ

=>góc BMD=30 độ

AB=AC

OB=OC

=>AO là trug trực của BC

=>AD là trung trực của BC

=>AD là phân giác của góc BAC

=>góc BAD=1/2*60=30 độ

=>góc BMD=30 độ

a: góc AHM+góc AKM=180 độ

=>AHMK nội tiếp

b: Xét ΔMHB vuông tại H và ΔMKC vuông tại K có

góc HBM=góc KCM

=>ΔMHB đồng dạng vơi ΔMKC

=>MH/MK=MB/MC

=>MH*MC=MB*MK

2) Tứ giác APQD nội tiếp ( P Q D ^ = M A D ^ = 90 0 ),

suy ra  P A Q ^ = P D Q ^ = N D M ^  (3).

Xét (O), ta có  N D M ^ = N A M ^  (4).

Từ (3) và (4)  P A Q ^ = N A P ^ , suy ra AP là phân giác của góc  N A Q ^  (*).

Xét (O), ta có  A N D ^ = A M D ^ .

Xét đường tròn đường kính MP có  Q M P ^ = Q N P ^ ⇒ A N P ^ = Q N P ^ , nên NP là phân giác của góc ANQ (**).

Từ (*) và (**), suy ra P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ANQ

1). Vì MP là đường kính suy ra  P N ⊥ M N  (1).

Vì MD là đường kính suy ra  D N ⊥ M N  (2).

Từ (1) và (2), suy ra N; P; D thẳng hàng.