a, ta có: góc AEI = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => EI\(\perp\)AK tại E và AH\(\perp\)KI tại H (gt)

chúng cắt nhau tại B => B là trực tâm. => KB vuông góc AI (đpm)

b, ta có: góc ECA = góc EBA ( cùng chắn cung AE) mà góc EBA= góc HBI (hai góc đối đỉnh) (4)

ta lại có: góc HBI + góc HIB =90^o (tổng 3 góc trong một tam giác) (3)

=> góc ECA + góc HIB = 90^o (1)

Xét tam giác CEI vuông tại E nên: góc EKI + góc HIB =90^o (2)

Từ (1) và (2) => góc ECA = góc EKI 

=> tứ giác EKNC là tứ giác nội tiếp ) (đpcm)

c,Ta có: góc EAB + góc EBA = 90^o và từ (3), (4) => góc EAB = góc BIH

mà góc EAB = góc BEN ( bằng 1/2 sđ cung EB)

=> góc BIH = góc BEN=> tam giác ENI cân tại N=> EN =NI (*)

Tương tự, ta có góc K + góc KAH = 90^o

góc KEN + góc NEB =90^o mà góc KAH = góc NEB (c.m.t)  => góc KEN = góc K   => tam giác KNE cân tại N => NK = NE (**)

từ (*) và (**) => NK = NI hay N là trung điểm KI ( đpcm)

trả lời đúng thì k cho mình chứ?

a, Xét đg tròn (O) có: \(\widehat{AEB}\) là góc nội tiếp chăn nửa đg tròn => \(\widehat{AEB}=90^0\)

Xét \(\Delta KIB\) có: \(KE\perp BI\) tại E (\(\widehat{AEB}=90^0\))

\(BH\perp IK\) tại H (gt)

Mà KE cắt BH tại A => A là trực tâm của \(\Delta KIB\)

=> \(IA\perp KB\)

b, Xét \(\Delta KEI\) và \(\Delta BHI\) có:

\(\widehat{BHI}=\widehat{KEI}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{I}\) là góc chung

=> \(\Delta KEI\) ~ \(\Delta BHI\left(g.g\right)\)

=> \(\widehat{NKE}=\widehat{ABE}\).

Xét đg tròn (O) có: \(\widehat{ABE}=\widehat{ACE}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

=> \(\widehat{NKE}=\widehat{ACE}\)

Xét tứ giác KCEN có: \(\widehat{NKE}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)

=> KCEN là tgnt

c, Xét đg tròn (O), tiếp tuyến NE có: \(\widehat{NEK}=\widehat{ACE}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

Mà \(\widehat{ACE}=\widehat{NKE}\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{NEK}=\widehat{NKE}\)

=> \(\Delta NEK\) cân tại N => NE=NK

Xét \(\Delta KEI\) vuông tại E (\(\widehat{KEI}=90^0\)) có:

\(\widehat{NKE}+\widehat{NIE}=90^0\)

Mà \(\widehat{NEK}+\widehat{NEI}=90^0\)

=> \(\widehat{NIE}=\widehat{NEI}\)

=> \(\Delta NEI\) cân tại N => NE=NI

Mà NE=NK (cmt)

=> NI=NK. Mà N nằm giữa I và K

=> N là trung điểm của IK

d, Mình ko biết làm, :p

bn vẽ hih dc o

a, Xét đg tròn (O) có: AEB^ là góc nội tiếp chăn nửa đg tròn => AEBˆ=90⁰

Xét ΔKIBΔKIB có: KE⊥BI tại E (AEB^=90⁰)

BH⊥IK tại H (gt)

Mà KE cắt BH tại A => A là trực tâm của ΔKIB

=> IA⊥KB

b, Xét ΔKEIvà ΔBHI có:

BHIˆ=KEIˆ(=90⁰)

Iˆ là góc chung

=> ΔKEI ~ ΔBHI(g.g)

=> NKEˆ=ABEˆ

Xét đg tròn (O) có: ABEˆ=ACEˆ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

=> NKEˆ=ACEˆ

Xét tứ giác KCEN có: NKEˆ=ACEˆ(cmt)

=> KCEN là tgnt

c, Xét đg tròn (O), tiếp tuyến NE có: NEKˆ=ACEˆ(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

Mà ACEˆ=NKEˆ(cmt)

=> NEKˆ=NKEˆ

=> ΔNEK cân tại N => NE=NK

Xét ΔKEIvuông tại E (KEIˆ=90⁰) có:

NKEˆ+NIEˆ=90⁰

Mà NEKˆ+NEIˆ=90⁰

=> NIEˆ=NEIˆ

=> ΔNEI cân tại N => NE=NI

Mà NE=NK (cmt)

=> NI=NK. Mà N nằm giữa I và K

=> N là trung điểm của IK

Xét (O) có

EA,EC là các tiếp tuyến

Do đó: EA=EC

=>E nằm trên đường trung trực của AC(1)

Ta có: OA=OC

=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OE là đường trung trực của AC

=>OE\(\perp\)AC tại M

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét tứ giác CMON có \(\widehat{CMO}=\widehat{CNO}=\widehat{MCN}=90^0\)

nên CMON là hình chữ nhật

=>C,M,O,N cùng thuộc đường tròn đường kính CO(1)

Ta có: ΔCHO vuông tại H

=>H nằm trên đường tròn đường kính CO(2)

Từ (1),(2) suy ra C,M,O,N,H cùng nằm trên đường tròn đường kính CO

mà O cố định

nên đường tròn ngoại tiếp ΔHMN luôn đi qua điểm O cố định

a, Học sinh tự chứng minh

b,  N E C ^ = C B E ^ = 1 2 s đ C E ⏜

=> DNEC ~ DNBE (g.g) => ĐPCM

c, DNCH ~ DNMB (g.g)

=> NC.NB = NH.NM = N E 2

DNEH ~ DNME (c.g.c)

=>  N E H ^ = E M N ^

d,  E M N ^ = E O M ^  (Tứ giác NEMO nội tiếp)

=>  N E H ^ = N O E ^ => EH ^ NO

=> DOEF cân tại O có ON là phân giác =>  E O N ^ = N O F ^

=> DNEO = DNFO vậy  N F O ^ = N E O ^ = 90 0 => ĐPCM