cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , trung tuyến BN . Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BN và cắt BN và BC lần lượt tại PK và M . chứng minh 2/MB = 1/BH + 1/BC
Cho tam giác ABC cân tại A trung tuyến AM và trung tuyến BN cắt nhau tại G qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt BN tại I
a. Chứng minh tam giác AGB=AGC
b. C/m rằng CI=2GM
C. So sánh góc AIB và góc ABI
Xét tg AGB và tg AGC có
AB=AC
AG chung
\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)
=> tg AGB = tg AGC (c.g.c)
b/
\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)
\(\Rightarrow AM\perp BC\)
\(CI\perp BC\)
=> GM//CI mà MB=MC => GB=GI (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)
Xét tg BCI có
MB=MC; GB=GI (cmt) => GM là đường trung bình của tg BCI
\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{2}CI\Rightarrow CI=2GM\)
(Tự vẽ hình)
a)
Xét ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến
=> AM đồng thời là đường phân giác, đường cao của ΔABC
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\\GM\perp BC\end{matrix}\right.\)
Vì ΔABC cân tại A
=> AB = AC (Định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔABG và ΔACG có:
AB = AC(cmt)
\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)(cmt)
AG chung
=> ΔABG = ΔACG(cgc)(đpcm)
b)
Có \(\left\{{}\begin{matrix}GM\perp BC\left(cmt\right)\\IC\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
=> GM // IC
Xét ΔBIG có M là trung điểm BC
Mà GM//IC
=> GM là đường trung bình của ΔBIC
=>\(\left\{{}\begin{matrix}MG//IC\\IC=2.GM\left(dpcm\right)\end{matrix}\right.\)
c)
Có AG//IC(cmt)
=> \(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(2 góc so le trong)
Vì AM,BN là 2 đường trung tuyến của ΔABC
Mà AM cắt BN tại G
Nên G là trọng tâm ΔABC
=>AG = \(\dfrac{2}{3}\)AM
=>AG = 2.GM
Mà IC = 2.GM(cm câu b)
=> AG = IC
Xét ΔGAC và ΔICA có:
AG = IC(cmt)
\(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(cmt)
AN = NC(BN là đường trung tuyến)
=> ΔGAC = ΔICA(gcg)
=> AI = GC(2 cạnh tương ứng)
Mà ΔABG = ΔACG(cm câu a) => BG = CG
=> AI = BG(1)
Có \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+\widehat{GMB}\)(góc ngoài tam giác)
=> \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+90^0\)
=> \(\widehat{AGB}>90^0\)
=> Cạnh AB lớn nhất trong ΔABG
=> AB>BG(2)
Từ (1) và (2) => AB > AI
=> \(\widehat{AIB}>\widehat{ABI}\)
cho tam giác ABC cân tại A trung tuyến AM và trung tuyến BN cắt nhau tại G
Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt BN tại I
a chứng minh tam giác AGB = AGC
b c/m rằng GM bằn 1/2 CI
c so sánh AIB và ABI
a: Ta có: ΔABC cân tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM là đường cao và AM cũng là phân giác
Xét ΔABG và ΔACG có
AB=AC
\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)
AG chung
Do đó: ΔABG=ΔACG
b: Xét ΔBIC có
M là trung điểm của BC
MG//IC
Do đó: G là trung điểm của BI
Xét ΔBIC có
M là trung điểm của BC
G là trung điểm của BI
Do đó: MG là đường trung bình
=>MG=1/2CI
Cho tam giác ABC cân tại A trung tuyến AM và trung tuyến BM cắt nhau tại g qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt BN tại I
a. Chứng minh tam giác AGB=AGC
b. C/m rằng GM=1/2 CI
C. So sánh AIB VÀ ABI
vì tg ABC cân tại A
=> AM là đường phân giác
=>góc BAG = góc CAG (t/c đường phân giác )
xét tam giác ABG và tam giác AGC có
góc BAG = góc CAG (cmt)
AG : chung
AB = AC( gt )
=> tg AGB = tg AGC( C-G-C )
cho tam giác ABC cân tại A. trung tuyến AM và trung tuyến BN cắt nhau tại G. Qua C, kẻ đường thẳng vuống góc với BC và cắt BN tại I
a) Chứng minh tam giác AGB=tam giác AGC
b)C/m rằng GM=1/2CI
c)So sánh AIB và ABI
Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 7,5 cm; BC = 12,5 cm.
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM : MB = 1 : 2. Từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt trung tuyến AF tại E và cắt cạnh AC tại N. Chứng minh E là trung điểm của MN.
c) Gọi G, H lần lượt là trung điểm của MC, BN. Chứng minh EGFH là hình chữ nhật và tính diện tích của nó.
a) Học sinh tự làm
b) Chứng minh A N 1 2 N C ⇒ S A M E = S A E N ⇒ E M = E N
hay E là trung điểm MN.
c) Chứng minh được EG//HF và HE/FG nên EHFG là hình bình hành; Mặt khác BM ^ NC (do AB ^ AC)
Suy ra EHFG là hình chữ nhật
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB>AC). Kẻ đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D là trung điểm của AB. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt CD và CB lần lượt tại E và F. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên BC.
1) Chứng minh rằng các tam giác ADE và CDA đồng dạng với nhau.
2) Chứng minh rằng BD.BC = BE.CD.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) kẻ đường cao AH và trung tuyến
AM (H, M thuộc BC). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM và cắt đường thẳng
BC tại D.
a) Chứng minh AB là phân giác của góc DAH;
b) Chứng minh BH.CD = CH.BD.
Cho tam giác ABC vuông tại A có BE là đường trung tuyến. Vẽ AM và CN lần lượt vuông góc với đường thẳng BE tại M và N.
a) Chứng minh EM = EN.
b) Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng BE tại F. Chứng minh BN = FM.
c) Dựng EK _|_ BC tại K. Chứng minh BA, KE, CN cùng đi qua một điểm.
d) Chứng minh góc ABE > góc CBE.
Cho tam giác `ABC` vuông tại A, đường cao `AH`, đường trung tuyến `AO`. Gọi `D,E` lần lượt là hình chiếu của `H` trên `AB,AC`. Qua `A` kẻ đường thẳng vuông góc với `AO` cắt `BC` ở `K`.
Chứng minh : `(BK)/(BH) = (CK)/(CH)`