a/

\(P=\left(\frac{x^3+y^3}{x+y}-xy\right):\left(x\sqrt{x}-y\sqrt{x}-x\sqrt{y}+y\sqrt{y}\right)\)

\(=\left(\frac{x^3+y^3-xy\left(x+y\right)}{x+y}\right):\left(\sqrt{x}\left(x-y\right)-\sqrt{y}\left(x-y\right)\right)\)

\(=\left(x-y\right)^2.\frac{1}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x-y\right)}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

b/ Áp dụng vi-et ta có: \(\left\{\begin{matrix}x+y=2015\\xy=2016\end{matrix}\right.\)

\(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

\(\Rightarrow P^2=x+y+2\sqrt{xy}\)

\(=2015+2\sqrt{2016}\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{2015+2\sqrt{2016}}\)

a/ \(Q=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

b/ \(\hept{\begin{cases}x+y=2015\\xy=2016\end{cases}}\)

\(Q^2=x+y+2\sqrt{xy}=2015+2\sqrt{2016}\)

\(\Rightarrow Q=\sqrt{2015+2\sqrt{2016}}\)

Q  \(=\left(\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x+y}-xy\right):\left(x\sqrt{x}-y\sqrt{x}-x\sqrt{y}+y\sqrt{y}\right)\)

Q\(=\left(x^2-xy+y^2-xy\right):\left[\sqrt{x}\left(x-y\right)-\sqrt{y}\left(x-y\right)\right]\)

Q\(=\left(x^2-2xy+y^2\right):\left(x-y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

Q \(=\left(x-y\right)^2:\left(x-y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

Q \(=\left(x-y\right):\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

Q \(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right):\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

Q \(=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

câu 1 sai đề

\(\sqrt{x}+1chứkophải\sqrt{x+1}\)

\(\sqrt{1+a^2+\frac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}=\frac{a^2+a+1}{\left(a+1\right)}\Rightarrow\sqrt{1+2012^2+\frac{2012^2}{2013^2}}+\frac{2012}{2013}=\frac{2013^2}{2013}=2013\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}=|x-1|+|x-2|=2013\)

giải tiếp nha

bang 85

bài 1: pt (2) hình như có vấn đề

b) \(x^4-7x^2+6=0\Leftrightarrow x^4-x^2-6x^2+6=0\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-6\right)=0\)

=> x^2-1=0 <=> x=+-1 hoặc x^2-6=0 <=> x=+-6 

bài 2: ĐK: x >0 và x khác 1

\(P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x^3}-1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-2\left(\sqrt{x}+1\right)+2\left(\sqrt{x}+1\right)=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-2\sqrt{x}-2+2\sqrt{x}+2=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\)

b)  ví x>0 => \(\sqrt{x}-1>-1\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)>-1\)=> k tìm đc Min

c) \(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

để biểu thức này nguyên => \(\sqrt{x}-1\inƯ\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}-1\in\left(+-1;+-2\right)\)

=> x thuộc (4;9)

bìa 3: câu này bạn đăng riêng mình làm rồi đó

câu 2:DKXĐ: x \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\);\(x\ne0\);1

PT\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x-1\right)^2}-\frac{1}{x^2}=\sqrt{x+2}-\sqrt{3x+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-\left(x^2-2x+1\right)}{x^2\left(x-1\right)^2}=\frac{x+2-3x-1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-1}}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(\frac{1}{x^2\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+1}}\right)=0\)

vì \(\frac{1}{x^2\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+1}}\ne0\)nên pt có nghiệm x= \(\frac{1}{2}\)

giả sử có tồn tại số TN n để \(2012+n^2\)là SCP

đặt \(2012+n^2=m^2\Leftrightarrow\left(m+n\right)\left(m-n\right)=2012\)(m thuộc Z)

m+n>m-n .ta có bảng:

giải bảng trên kết hợp với Đk n là số TN, ta thu được n=502 khi m=504 hoặc -504

câu 3:

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2012}=2\sqrt{503}\)(ĐK:\(x,y\ge0\))

vì x,y nguyên mà \(2\sqrt{503}\)là số vô tỉ nên \(\sqrt{x};\sqrt{y}\)chỉ tách được thành tổng 2 căn thức có phần dưới căn là 503 (tức chỉ có thể tách thành \(1\sqrt{503}+1\sqrt{503}=2\sqrt{503}\)

hay \(0.\sqrt{503}+2\sqrt{503}=2\sqrt{503}\))(x,y >=0)

mà theo đề bài x<y => x=0,y=\(\sqrt{y}=2\sqrt{503}\Rightarrow y=2012\)