cho tg ABC. CMR:
a) \(\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)< m_a+m_b+m_c< a+b+c\)
b) \(a^2+b^2+c^2\le9R^2\)
c) \(a^4+b^4+c^4\ge16S^2\)
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABC. CMR
\(a.\sin A+b.\sin B+c.\sin C=\dfrac{2\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)}{3R}\)
- Áp dụng định lý sin ta được :
\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinC=\dfrac{c}{2R}\\sinB=\dfrac{b}{2R}\\sinA=\dfrac{a}{2R}\end{matrix}\right.\)
VT = \(\dfrac{a^2}{2R}+\dfrac{b^2}{2R}+\dfrac{c^2}{2R}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R}\)
Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}m_a^2=\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}\\....\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VP=\dfrac{b^2+c^2+c^2+a^2+a^2+b^2-\dfrac{a^2}{2}-\dfrac{b^2}{2}-\dfrac{c^2}{2}}{3R}\)
\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3R}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R}=VT\)
=> ĐPCM
Đúng 3
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua A, B, C, m = \(\frac{m_a+m_b+m_c}{2}\) Chứng minh rằng: SABC = \(\frac{3}{4}\) \(\sqrt{m\left(m-m_a\right)\left(m-m_b\right)\left(m-m_c\right)}\)
Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến là \(m_a,m_b,m_c\).Đặt \(t=\frac{m_a+m_b+m_c}{2}\)
CMR: \(S_{ABC}=\frac{3}{4}\sqrt{t\left(t-m_a\right)\left(t-m_b\right)\left(t-m_c\right)}\)
cho tam giác ABC có \(a^2+b^2=2c^2\). chứng minh rằng \(m_a+m_b+m_c=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a-b-c\right)\)
Ta có :
\(m_a=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-\left(2c^2-b^2\right)}}{2}=\frac{\sqrt{3}b}{2}\)
\(m_b=\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}}=\frac{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}{2}=\frac{\sqrt{2c^2+2a^2-\left(2c^2-a^2\right)}}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
\(m_c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}=\frac{\sqrt{4c^2-c^2}}{2}=\frac{\sqrt{3}c}{2}\)
\(\Rightarrow m_a+m_b+m_c=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\)
Hình như đề nhầm dấu thì phải
Cho tam giác có AB=c, BC = a , CA=b ; ma , mb , mc là độ dài trung tuyến vẽ từ A, B, C . Cmr : \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\sqrt{3}\left(m_a+m_b+m_c\right)\)
1/ Cho a,b,c>0 và \(a^2+b^2+c^2=3\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4\) ?
2/ Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: \(\frac{m_a}{a}+\frac{m_b}{b}+\frac{m_c}{c}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\) ?
Cho tam giác ABC, gọi ma, mb, mc và R là độ dài ba đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng: \(3\left(m_a+m_b+m_c\right)R_m\ge2\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)\)
Gọi \(m_a,m_b,m_c\) là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC
a) Tính \(m_a\), biết rằng \(a=26,b=18,c=16\)
b) Chứng minh rằng : \(4\left(m^2_a+m^2_b+m^2_c\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Cho tam giác ABC. Gọi ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Tính giá trị nhỏ nhất của \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{abc\left(m_a+m_b+m_c\right)}\)
ÁP dụng BĐT Bunhia:
\(\left(m_a+m_b+m_c\right)^2\le3\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)=\frac{9}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow m_a+m_b+m_c\le\frac{3}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\left(ab+ac+bc\right)}{abc}\ge\frac{2}{3}\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P_{min}=2\sqrt{3}\) khi \(a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)