Do a;b;c và d là các số tự nhiên >0 => 
a + b + c < a + b + c + d 
a + b + d < a + b + c + d 
a + c + d < a + b + c + d 
b + c + d < a + b + c + d 
=> a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1) 
b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2) 
c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3) 
d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4) 
Từ (1);(2);(3) và (4) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1 
=> B > 1 (*) 

Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) 
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad) 
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad 
= bd + cd 
Do a;b;c và d là số tự nhiên >0
=> bd + cd > 0 
=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0 
=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d) 
=> (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5) 
Chứng minh tương tự ta được: 
(b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6) 
(a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7) 
(b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8) 
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được: 
(a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) 
=> (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > B 
=> 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > B 
=> 2 > B (*)(*) 
Từ (*) và (*)(*) 
=> 1 < B < 2 
=> B không phải là số tự nhiên

A = a/a+b+c + b/a+b+d + c/b+c+d + d/a+c+d

A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d/a+b+c+d

A > a+b+c+d/a+b+c+d

A > 1 (1)

Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)

A = a/a+b+c + b/a+b+d + c/b+c+d + d/a+c+d

A < a+d/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + a+c/a+b+c+d + d+b/a+b+c+d

A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d

A < 2 (2)

Từ (1) và (2) => 1 < A < 2

=> A không phải số nguyên ( đpcm)

Ko fai số tự nhiên nha

2 > M >/ 4/3  => M không là số N

ta có : M > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d +d/a+b+c+d = 1

M < (a/a+b + b/a+b)+(c/c+d + d/c+d) = 1+1=2

=> 1<M<2

=>M ko phải là số tự nhiên

bạn quy đồng các số hạng trong M ra rồi chứng minh.

Vậy Tony Spicer thử quy đồng xem nào.

M không có giá trị tự nhiên vì để m là số tự nhiên thì các phân số phải là số tự nhiên mà tử số lớn hơn mẫu số nên số đó không phải là số tự nhiên 

Lời giải:

Gọi biểu thức đã cho là $A$

Với mọi $a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$ ta có:

$\frac{a}{a+b+c}> \frac{a}{a+b+c+d}$

$\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}$

$\frac{c}{c+d+a}> \frac{c}{a+b+c+d}$

$\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}$

Cộng theo vế:

$D> \frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}$ hay $D>1(*)$

Mặt khác:

Xét $\frac{a}{a+b+c}-\frac{a+d}{a+b+c+d}=\frac{-d(b+c)}{(a+b+c)(a+b+c+d)}< 0$ với mọi $a,b,c,d>0$

$\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}$
Tương tự:

$\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}$

$\frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{c+d+a+b}$

$\frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{d+a+b+c}$

Cộng theo vế:

$A< \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}$ hay $A< 2(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 1< A< 2$ nên $A$ không phải số tự nhiên.

Với a,b,c,d là các số nguyên dương ta luôn có :

\(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)

Tương tự : \(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}< S< \frac{2.\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\rightarrow1< S< 2\)

Do đó , S không là số tự nhiên.

\(\frac{d}{ưưda}ư\)