Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge\dfrac{16}{3x+3y+2z}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{3x+2y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\right)\\ \Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{3x+2y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\right)=\dfrac{4}{16}\cdot6=\dfrac{3}{2}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

khiếp,ít ít thôi, t giải phụ chứ nhìn lóa mắt quá

=> 2x² - 2y² + x - y = y²

=> 2(x² - y²) + (x - y) = y²

=> 2.(x - y).(x+y) + (x - y) = y²

=> (x - y).(2x+ 2y + 1) = y²  là số chính phương  (*)

Nhận xét: x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau  (**)  vì: 

Gọi d = ƯCLN(x - y; 2x + 2y + 1) 

=> x- y ; 2x + 2y + 1 chia hết cho d

=> y² = (x - y).(2x+ 2y+ 1) chia hết cho d² => y chia hết cho d

và  (2x+ 2y+ 1) - 2(x - y)  chia hết cho d =>  4y + 1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d hay d = 1

Từ (*)(**) => x - y và 2x + 2y + 1 là số chính phương

Tương tự: có 3y² - 3x² + y - x = -x²

=> 3(x² - y²) + (x - y) = x²

=> 3(x - y)(x+y) + (x - y) = x²

=> (x - y).(3x+ 3y + 1) = x² là số chính phương 

Mà x - y là số chính phương nên 3x + 3y + 1 là số chonhs phương

=> ĐPCM

=> 2x² - 2y² + x - y = y²

=> 2(x² - y²) + (x - y) = y²

=> 2.(x - y).(x+y) + (x - y) = y²

=> (x - y).(2x+ 2y + 1) = y²  là số chính phương  (*)

Nhận xét: x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau  (**)  vì: 

Gọi d = ƯCLN(x - y; 2x + 2y + 1) 

=> x- y ; 2x + 2y + 1 chia hết cho d

=> y² = (x - y).(2x+ 2y+ 1) chia hết cho d² => y chia hết cho d

và  (2x+ 2y+ 1) - 2(x - y)  chia hết cho d =>  4y + 1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d hay d = 1

Từ (*)(**) => x - y và 2x + 2y + 1 là số chính phương

Tương tự: có 3y² - 3x² + y - x = -x²

=> 3(x² - y²) + (x - y) = x²

=> 3(x - y)(x+y) + (x - y) = x²

=> (x - y).(3x+ 3y + 1) = x² là số chính phương 

Mà x - y là số chính phương nên 3x + 3y + 1 là số chonhs phương

=> ĐPCM

=> 2x² - 2y² + x - y = y²

=> 2(x² - y²) + (x - y) = y²

=> 2.(x - y).(x+y) + (x - y) = y²

=> (x - y).(2x+ 2y + 1) = y²  là số chính phương  (*)

Nhận xét: x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau  (**)  vì: 

Gọi d = ƯCLN(x - y; 2x + 2y + 1) 

=> x- y ; 2x + 2y + 1 chia hết cho d

=> y² = (x - y).(2x+ 2y+ 1) chia hết cho d² => y chia hết cho d

và  (2x+ 2y+ 1) - 2(x - y)  chia hết cho d =>  4y + 1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d hay d = 1

Từ (*)(**) => x - y và 2x + 2y + 1 là số chính phương

Tương tự: có 3y² - 3x² + y - x = -x²

=> 3(x² - y²) + (x - y) = x²

=> 3(x - y)(x+y) + (x - y) = x²

=> (x - y).(3x+ 3y + 1) = x² là số chính phương 

Mà x - y là số chính phương nên 3x + 3y + 1 là số chonhs phương

=> ĐPCM

bấm đúng cho tớ nhé các bạn

Do \(1\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\le3x\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(y^2+2\le3y\)

Do đó: \(P\ge\dfrac{x+2y}{3x+3y+3}+\dfrac{2x+y}{3x+3y+3}+\dfrac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

\(P\ge\dfrac{x+y}{x+y+1}+\dfrac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

Đặt \(a=x+y-1\Rightarrow1\le a\le3\)

\(\Rightarrow P\ge f\left(a\right)=\dfrac{a+1}{a+2}+\dfrac{1}{4a}\)

\(f'\left(a\right)=\dfrac{3a^2-4a-4}{4a^2\left(a+2\right)^2}=\dfrac{\left(a-2\right)\left(3a+2\right)}{4a^2\left(a+2\right)^2}=0\Rightarrow a=2\)

\(f\left(1\right)=\dfrac{11}{12}\) ; \(f\left(2\right)=\dfrac{7}{8}\) ; \(f\left(3\right)=\dfrac{53}{60}\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\ge\dfrac{7}{8}\Rightarrow P_{min}=\dfrac{7}{8}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)