a) Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

nên HD=AD=BD

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

nên \(HE=AE=EC=\dfrac{AC}{2}\)(3)

Ta có: HD=AD

nên D nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: HE=AE

nên E nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra DE là đường trung trực của AH

b) Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: DE//BC

hay DE//HF

Xét ΔABC có

D là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Do đó: DF là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: \(DF=\dfrac{AC}{2}\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra DF=HE

Xét tứ giác DEFH có DE//HF(cmt)

nên DEFH là hình thang

mà DF=HE(cmt)

nên DEFH là hình thang cân

a)gọi giao điểm của đoạn thẳng AH và DE là O

xét tam giác ABC có

D là trung điểm của AC

E là trung điểm của AC=> DE là đường trung bình của tam giác ABC=> DE// CB (t/c đường trung bình tam giác)

=>AH vuông góc DE( AH vuông CB mà DE//CB)

mặt khác ta lại có O là giao điểm của AH và DE=> D,O,E thẳng hàng 

=> o cũng là trung điểm của AH hay ta nói đoạn thẳng DE là đường trung trực của AH

b) ta có DE//CB (cmt) mà K,H thuộc CB

=> DE//KH hay tứ giác DEKH là hình thang

xét hình thang DEKH  có :

E là trung điểm của AB

K là trung điểm của CB=> KE là đường trung bình của tam giác BAC

=> KE//AC=1/2 AC (1)

DH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ACH (D là trung điểm của AC, AD=DC)

=> DH=1/2 AC (2) 

từ  (1) và (2)=> KE=DH =(AC) mà KE và DH lại là 2 đường chéo của hình thang DEHK

=> hình thang DEHK là hình thang cân

a) Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

nên HD=AD=BD

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

nên \(HE=AE=EC=\dfrac{AC}{2}\)(3)

Ta có: HD=AD

nên D nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: HE=AE

nên E nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra DE là đường trung trực của AH

b) Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: DE//BC

hay DE//HF

Xét ΔABC có

D là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Do đó: DF là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: \(DF=\dfrac{AC}{2}\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra DF=HE

Xét tứ giác DEFH có DE//HF(cmt)

nên DEFH là hình thang

mà DF=HE(cmt)

nên DEFH là hình thang cân

\(a,\) Tam giác ABH vuông tại H có DH là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB \(\Rightarrow DH=AH=BD=\dfrac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow D\in\) đường trung trực của AH \((1)\)

Tam giác ACH vuông tại H có HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC \(\Rightarrow HE=AE=EC=\dfrac{1}{2}AC\)

\(\Rightarrow E\in\) đường trung trực AH \(\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow DE\) là đường trung trực của AH

\(b,\left\{{}\begin{matrix}AD=DB\\AE=EC\end{matrix}\right.\Rightarrow DE\) là đtb tam giác ABC

\(\Rightarrow DE//BC//HK\)

Do đó DEKH là hình thang cân \(\left(1\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AD=DB\\BK=KC\end{matrix}\right.\Rightarrow DK\) là đtb tam giác ABC

\(\Rightarrow DK=\dfrac{1}{2}AC\\ \Rightarrow DK=HE\left(=\dfrac{1}{2}AC\right)\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow DEKH.là.hthang.cân\)