Em thử nha, ko chắc đâu;( em thấy nó giống giống lời giải một bài toán nào đó trên tạp chí toán tuổi thơ mà em đã đọc qua lúc trước: chỗ khúc cuối xét \(t_1>t_2\ge3\) ấy ạ. Nên bắt chước lại chỗ đó. tạm thời em chưa nghĩ ra lời nào khác.

Từ đề bài ta có \(1=xyz\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\Rightarrow t=x+y+z\ge3\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{t^2}{t+3}\). Cần chứng minh \(\frac{t^2}{t+3}\ge\frac{3}{2}\left(t\ge3\right)\Leftrightarrow f\left(t\right)=2t^2-3t-9\ge0\) (1)

Xét \(t_1>t_2\ge3\). Khi đó \(f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=2\left(t_1^2-t_2^2\right)-3\left(t_1-t_2\right)\)

\(=2\left(t_1-t_2\right)\left(t_1+t_2\right)-3\left(t_1-t_2\right)\)

\(=\left(t_1-t_2\right)\left(2t_1+2t_2-3\right)>\left(t_1-t_2\right)\left(2.3+2.3-3\right)=9\left(t_1-t_2\right)>0\) (do \(t_1>t_2\ge3\))

Do đó khi t tăng thì hàm số f(t) tăng, tương tự t giảm thì f(t) giảm với \(t\ge3\). Do đó f(t) đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 3.

Khi đó f(t) = 0. Do đó (1) đúng hay ta có đpcm.

A hay là cách này ấy nhỉ? Cách này thì chắc ăn hơn cách kia.(chỗ chứng minh f(t) >=0 với t>=3)

Cần chứng minh \(f\left(t\right)=2t^2-3t-9\ge0\)

\(\Leftrightarrow2t^2-6t+3t-9\ge0\) (Tách -3t thành -6t + 3t)

\(\Leftrightarrow2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)=\left(2t+3\right)\left(t-3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(t\ge3\))

Do đó f(t) \(\ge0\). Hay ta có đpcm.

Quên nữa! Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1 :v

\(1=xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\Rightarrow x+y+z\ge3\)

Đặt vế trái là P, ta có: \(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+\left(x+y+z\right)}\)

Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow t\ge3\)

Ta cần chứng minh \(\frac{t^2}{t+3}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow2t^2-3t-9\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2t+3\right)\left(t-3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(t\ge3\))

Dấu "=" xảy ra khi \(t=3\) hay \(x=y=z=1\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\text{VT}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\frac{1}{y}}+\frac{\left(\frac{y}{z}\right)^2}{\frac{1}{z}}+\frac{\left(\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}}\geq \frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\)

Giờ ta cần chỉ ra \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

Thật vậy, do $xyz=1$ nên tồn tại các số dương \(a,b,c\) sao cho:

\((x,y,z)=\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right)\)

Bài toán tương đương với

\(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)

Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:

\((ab)^3+(ab)^3+(bc)^3\geq 3b^3ca^2\)

Thực hiện tương tự và cộng theo vế, suy ra:

\(3[(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3]\geq 3(a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2)\)

\(\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)

Do đó ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=1\)

@Ace Legona

làm thế này chả biết có đúng ko nữa, sếp Ace có rảnh thì xem giúp em nhé ^^!

theo Bđt Cauchy, ta có:

\(x^3z+xy^3+yz^3\ge\sqrt[3]{x^4y^4z^4}=1\)

\(-x^2z-xy^2-yz^2\ge-\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=-1\)

cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên, ta được:

(cái này tớ muốn lách luật: không được trừ theo vế 2 bđt cùng chiều, chả biết có đc ko)

\(x^3z+xy^3+yz^3-x^2z-xy^2-yz^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2z\left(x-1\right)+xy^2\left(y-1\right)+yz^2\left(z-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(x-1\right)}{y}+\dfrac{y\left(y-1\right)}{z}+\dfrac{z\left(z-1\right)}{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}-\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}-\dfrac{z}{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}\) (đpcm)

\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)

ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)

\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)

Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị 

trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))

vì \(x,y,z\in\left[0;1\right]\)nên \(x^2\ge x^3;y^2\ge y^3;z^2\ge z^3\)

\(VT\le\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}\le\frac{3}{1+xyz}\)đúng theo BĐT câu a vì \(x,y,z\le1\)nên BĐT đổi chiều 

Dấu = xảy ra:(x,y,z)=(0;0;0);(1;1;1) ;(1;0;1);(0;1;1);(1;1;0)

Nếu x; y; z là các số nguyên dương mà x y z = 1 => x = y = z = 1

=> bất đẳng thức luôn xảy ra dấu bằng

Sửa đề 1 chút cho z; y; x là các số dương

Ta có: \(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)

=> \(\frac{x^2}{y+1}\ge x-\frac{y+1}{4}\)

Tương tự: 

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge x+y+z-\frac{y+1}{4}-\frac{z+1}{4}-\frac{x+1}{4}\)

\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1

Đây mà là tiếng việt lớp 3 à

đặt \(P=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{yz}{x^2\left(y+z\right)}+\frac{zx}{y^2\left(z+x\right)}+\frac{xy}{z^2\left(x+y\right)}\)

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

\(\frac{yz}{x^2\left(y+z\right)}+\frac{y+z}{4yz}\ge\frac{1}{x};\frac{zx}{y^2\left(z+x\right)}+\frac{z+x}{4zx}\ge\frac{1}{y};\frac{xy}{z^2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{4xy}\ge\frac{1}{z}\)

\(\Rightarrow P+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)

dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Ta có

\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

\(=>x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2\left(xyz\right)\left(x+y+z\right)\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)

\(=>\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3\left(x+y+z\right)\)

\(=>\frac{1}{\left(x+y+z\right)}\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

\(=>A\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}-\frac{2}{xy+yz+zx}\)

đặt 

\(\frac{1}{xy+yz+zx}=t\)

\(=>A\ge3t^2-2t\)

mà \(\left(3t-1\right)^2\ge0=>9t^2-6t+1\ge0=>3t^2-2t+\frac{1}{3}\ge0\Rightarrow3t^2-2t\ge-\frac{1}{3}\)

\(=>A\ge-\frac{1}{3}\)(dpcm)

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

tinh tuoi con gai bang 1/4 tuoi me , tuoi con bang 1/5 tuoi me . tuoi con gai cong voi tuoi cua con trai 

la 18 tuoi . hoi me bao nhieu tuoi ?

r5464

\(\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{y^2z^2}{x\left(y+z\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(z+x\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x+y\right)}\)

\(\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}\)