GTNN

\(x^2+y^2=1=\left(x+y\right)^2-2xy\Rightarrow2xy=\left(x+y\right)^2-1\)

\(x;\text{ }y\ge0\Rightarrow x+y=\sqrt{x^2+y^2+2xy}\ge\sqrt{1+2xy}\ge1\)

\(A^2=2+2\left(x+y\right)+2\sqrt{\left(1+2x\right)\left(1+2y\right)}\)

\(=2+2\left(x+y\right)+2\sqrt{1+2\left(x+y\right)+4xy}\)

\(=2+2\left(x+y\right)+2\sqrt{1+2\left(x+y\right)+2\left(x+y\right)^2-2}\)

\(=2+2t+2\sqrt{2t^2+2t-1}\text{ }\left(t=x+y\ge1\right)\)

\(\ge2+2+2\sqrt{2.1^2+2.1-1}\)

\(=4+2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{4+2\sqrt{3}}=1+\sqrt{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x+y=1\Leftrightarrow xy=0\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(1;0\right);\left(0;1\right)\)

GTLN

Với 2 số thực bất kì, ta luôn có: \(\left(a+b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)-\left(a-b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(A^2\le2\left(1+2x+1+2y\right)=4+4\left(x+y\right)\le4+4\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=4+4\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\le\sqrt{4+4\sqrt{2}}\)

Dấu bằng xảy ra khi 2 biến bằng nhau.

Bài 2 : 

Tìm min : Bình phương 

Tìm max : Dùng B.C.S ( bunhiacopxki )

Bài 3 : Dùng B.C.S

KP9

nói thế thì đừng làm cho nhanh bạn ạ

Người ta cũng có chút tôn trọng lẫn nhau nhé đừng có vì dăm ba cái tích 

toàn 1 lũ hãm điểm

câu a) rút x theo y thế vào A rồi áp dụng HĐT

b)rút xy thế vào B 

c)HĐT

d)rút x theo y thé vào C

rồi dùng BĐT cô-si

e)BĐT chưa dấu giá trị tuyệt đối

không biết :))))

2/ Ta có

\(\frac{x+y}{4}+\frac{x^2}{x+y}\)\(\ge\)x

\(\frac{y+z}{4}+\frac{y^2}{y+z}\ge y\)

\(\frac{z+x}{4}+\frac{z^2}{z+x}\ge z\)

Từ đó ta có VT \(\ge\)\(\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2}\)= \(\frac{1}{2}\)

Đạt được khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)

Bài này trình bày dài làm biếng làm quá

1/ Ta có 

\(\frac{x^2+\left(1-y^2\right)}{2}\ge x\sqrt{1-y^2}\)

\(\frac{y^2+\left(1-x^2\right)}{2}\ge y\sqrt{1-x^2}\)

=> \(1\ge x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\)

Dấu bằng xảy ra khi x² = 1 - y² và y² = 1 - x²

Hay x² + y² = 1