Giả sử a₁, a₂, ..., a₂₀₁₇ là 2017 số khác nhau. 

Và0 < a₁ < a₂ ... < a₂₀₁₇

Vì là số nguyên dương nên ta có

\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2017}}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2017}\)

\(< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+\frac{2016}{2}=1009\)

Từ đây ta thấy rằng nếu như 2017 số đó là khác nhau thì tổng luôn < 1009 vậy nên để tổng đó bằng 1009 thì phải có ít nhất 2 trong 2017 số đó bằng nhau

có bạn nào làm được bài này theo nguyên lí Đi - rich - lê ko 

giả sử trong 36 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử :

\(a_1< a_2< ...< a_{36}\)

Suy ra : \(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{36}\ge36\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{36}}}\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{36}}\)( 1 )

Ta có :  \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{36}}=1+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{36}}\)

\(< 1+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\frac{2}{\sqrt{36}+\sqrt{35}}\)

\(=1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+...+2\left(\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{36}-\sqrt{1}\right)+1=11\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{36}}}< 11\)( trái với giả thiết )

\(\Rightarrow\)tồn tại 2 số bằng nhau trong 36 số tự nhiên đã cho

Phản chứng: giả sử trong 361 số đó, không có 2 số nào bằng nhau

Không mất tính tổng quát, giả sử:

\(0< a_1< a_2< ...< a_{361}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1\ge1\\a_2\ge2\\...\\a_{361}\ge361\end{matrix}\right.\)

Đặt \(S=\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{361}}}\)

\(\Rightarrow S\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{361}}\)

\(\Rightarrow S\le1+2\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{2\sqrt{361}}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{360}+\sqrt{361}}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}+...+\dfrac{\sqrt{361}-\sqrt{360}}{\left(\sqrt{361}+\sqrt{360}\right)\left(\sqrt{361}-\sqrt{360}\right)}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{361}-\sqrt{360}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\sqrt{361}-1\right)=37\)

Trái với giả thiết \(S=37\)

\(\Rightarrow\) Điều giả sử là sai hau trong 361 số tự nhiên đó tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau

giup cai? can gap! gap! gap!? | Yahoo Hỏi & Đáp

chứng minh = phản chứng . giả sử trong 25 số tự nhiên ko có 2 số nào bằng nhau . ko mất tính tổng quát , giả sử\(a_11,a_22,..,a_{25}25\)

thế thì

\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+..+\frac{1}{\sqrt{25}}\)

ta lại có \(\frac{1}{\sqrt{25}}+..+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{\sqrt{25+\sqrt{25}}}+\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}+1\)

\(< \frac{2}{\sqrt{24+\sqrt{24}}}+.+\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}+1\)

\(=2\left(\sqrt{25}-\sqrt{24}+\sqrt{24}-\sqrt{23}+...+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+1=2\left(\sqrt{25}-\sqrt{1}\right)+1=9\left(2\right)\)

từ (1) zà 2 suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+..+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}< 9\)trái zới giả thiết , suy ra ko tồn tại 2 số nào = nhau trong 25 số