Cho 2 số thực a,b không âm thỏa mãn 18a+4b \(\ge\) 2013 . chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm \(18ax^2+4bx+671-9a=0\)
Cho 2 số thực a và b không âm thỏa mãn \(18a+4b\ge2013\). CMR phương trình sau luôn có nghiệm 18ax2 + 4bx + 671 - 9a = 0
Cho 2 số thực o âm tm \(18a+4b\ge2013\) CM pt sau luôn có ngiệm \(18ax^2+4bx+671-9a=0\)
\(\Delta=\left(2b\right)^2-18a\left(671-9a\right)=162a^2-12078a+4b^2\)
\(=\left(81a^2-12078a+450241\right)+\left(81a^2+4b^2\right)-450241\)
\(\ge\left(9a-671\right)^2+\frac{\left(9a+2b\right)^2}{2}-450241\ge\frac{\left(\frac{2013}{2}\right)^2}{2}-450241>0\)
cho phương trình ax^2+bx+c=0 với các số a,b,c là các số thực nghiệm khác 0 và thỏa mãn điều kiện a+b+2c=0. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm trên tập số thực
Đặt \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\).
\(f\left(0\right)=c;f\left(1\right)=a+b+c\)
Do \(a+b+2c=0\) nên c và \(a+b+c\) trái dấu. Suy ra f(0)f(1) < 0 nên f(x) = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm tren (0; 1).
cho 18a+4b>=2013. chung minh rang phuong trinh sau luon co nghiem 18ax2+4bc+671-9a=0
cho a,b.c là 3 só thực thỏa mãn 5a+3b+2c = 0.Chứng minh rằng phương trình ax^2 +bx+c = 0 luôn có nghiệm
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a2+b2+c2+abc=4 .Chứng minh rằng :
\(abc+2\ge ab+bc+ca\ge abc\)
Giả sử \(c\le1\).
Khi đó: \(ab+bc+ca-abc=ab\left(1-c\right)+c\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(1\right)\)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn với \(a=2,b=c=0\).
Theo giả thiết:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\)
\(\Leftrightarrow ab\left(c+2\right)\le4-c^2\)
\(\Leftrightarrow ab\le2-c\)
Trong ba số \(\left(a-1\right),\left(b-1\right),\left(c-1\right)\) luôn có hai số cùng dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\).
\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\ge a+b-1\)
\(\Leftrightarrow abc\ge ca+bc-c\)
\(\Rightarrow abc+2\ge ca+bc+2-c\ge ab+bc+ca\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow\) Bất đẳng thức được chứng minh.
cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a/6 +b/5 +c/4 =0 .Chứng minh rằng phương trình ax^2+bx+c=0 luộn có nghiệm.
cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\\left(m+1\right)x+my=7\end{matrix}\right.\)
a) chứng minh rằng: với mọi m thì hệ phương trình luôn có nghiệm x,y thỏa mãn x.y =< 1
b) tìm m là số nguyên để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x.y>0
Lời giải:
a.
Từ $x+y=2\Rightarrow y=2-x$. Thay vào PT(2):
$(m+1)x+m(2-x)=7$
$\Leftrightarrow x+2m=7$
$\Leftrightarrow x=7-2m$
$y=2-x=2-(7-2m)=2m-5$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y)=(7-2m, 2m-5)(*)$
Nếu $x,y$ có 1 số $\geq 0$, một số $\leq 0$ thì $xy\leq 0< 1$
Nếu $x,y$ cùng $\geq 0$ thì áp dụng BĐT Cô-si:
$2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1$
Vậy tóm lại $xy\leq 1(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra với mọi $m$ thì hpt luôn có nghiệm $x,y$ thỏa mãn $xy\leq 1$
b.
$xy>0$
$\Leftrightarrow (7-2m)(2m-5)>0$
$\Leftrightarrow 7> 2m> 5$
$\Leftrightarrow \frac{7}{2}> m> \frac{5}{2}$
Do $m$ nguyên nên $m=3$
Thử lại thấy đúng.
Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn: \(a^2+b^2< 1\). Chứng minh rằng phương trình sau luôn có hai nghiệm:
\(\left(a^2+b^2-1\right)x^2-2\left(ac+bd-1\right)x+c^2+d^2-1=0\)