Ta có :

\(x^2+y^2=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-a^2=b^2-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)

Mà \(x+y=a+b\)

\(\Leftrightarrow x-a=b-y\)

+ Nếu \(x-a=b-y=0\Leftrightarrow x=a;b=y\)      (1)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)

\(\Leftrightarrow0=0\left(TM\right)\)

+ Nếu \(x-a=b-y\ne0\Leftrightarrow x+a=b+y\)

\(\Leftrightarrow x-y=b-a\)

Lại có : \(x+y=a+b\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=2b\\-2y=-2a\end{cases}}\)Cái trên là cộng vế với vế 2 ptr, cái dưới là trừ vế cho vế của 2 ptr nhé )

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=b\\y=a\end{cases}}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Leftrightarrow x=a;y=b\)hoặc \(x=b;y=a\)

\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\)(đpcm)

Theo bài ra ta có:

x + y = a + b => (x + y)² = (a + b)² <=> 2xy = 2ab <=> xy = ab

Do đó, x và y là nghiệm của PT: t^{2 -}(a + b).t  - ab = 0

\(\Delta=\left(a+b\right)^2-4ab=...=\left(a-b\right)^2\)

=> x = a hoặc x = b; y = b hoặc y = a

Từ đó hiển nhiên xⁿ + yⁿ = aⁿ + bⁿ đúng. 

Đính chính: PT: t² -(a+b)t + ab = 0

các bạn giúp mình nhé !!!

a, Ta có: 3xy - 5 = x² + 2y

=> 3xy - x² - 2y = 5

=> y.( 3x - 2 ) = 5 + x.x

=> y = \(\frac{5+x^2}{3x-2}\)

=> \(x^2+5⋮3x-2\)( vì y là số nguyên )

=> \(3x^2+15⋮3x-2\)

\(\Rightarrow x\left(3x-2\right)+15+2x⋮3x-2\)

\(\Rightarrow2x+15⋮3x+2\)

\(\Rightarrow6x+45⋮3x+2\)

\(\Rightarrow2.\left(3x+2\right)+41⋮3x+2\)

\(\Rightarrow41⋮3x+2\)

\(\Rightarrow3x+2\in\left\{-41;-1;1;41\right\}\)

\(\Rightarrow3x\in\left\{-43;-3;-1;39\right\}\)

VÌ 3x chia hết cho 3

\(\Rightarrow3x\in\left\{-3;39\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{-1;13\right\}\)

+) với x = -1 => y = -6/5 ( loại )

+) với x = 13 => y = 174/37 ( loại )

Vậy không tìm được ( x ; y ) thỏa mãn bài

b,

Xét \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=3^n.9-2^n.4+3^n-2^n=3^n.\left(9+1\right)-2^n.\left(4+1\right)=3^n.10-2^n.5\)

\(=3^n.10-2^{n-1}.2.5=3^n.10-2^{n-1}.10=10.\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)

\(\Rightarrow3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n⋮10\)

Vậy: \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n⋮10\)

\(A=x^2+x+1=x^2+2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

vì \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

vậy A luôn luôn dương với mọi x

b: \(B=x^2-xy+y^2\)

\(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2>0\forall x,y\ne0\)

c: \(C=-x^2+4x-10\)

\(=-\left(x^2-4x+10\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+4+6\right)\)

\(=-\left(x-2\right)^2-6< 0\)