a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔHBA

\(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

AH=9*12/15=7,2cm

b: ΔHAB vuông tại H có HM vuông góc AB

nên MH^2=MA*MB

a: Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\left(1\right)\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=15^2+20^2=625\)

=>\(BC=\sqrt{625}=25\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot25=15\cdot20=300\)

=>\(AH=\dfrac{300}{25}=12\left(cm\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(3\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

c: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AK là đường trung tuyến

nên AK=KC=KB

Ta có: KA=KC

=>ΔKAC cân tại K

=>\(\widehat{KAC}=\widehat{KCA}\)

Ta có: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

=>\(\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\)

Ta có: \(\widehat{KAC}+\widehat{ANM}\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{KCA}=90^0\)

=>AK\(\perp\)MN tại I

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2;CH\cdot BC=CA^2\)

=>\(BH\cdot25=15^2=225;CH\cdot25=20^2=400\)

=>BH=225/25=9(cm); CH=400/25=16(cm)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\)

=>\(AM\cdot15=12^2\)=144

=>AM=144/15=9,6(cm)

Ta có: AMHN là hình chữ nhật

=>AH=MN

mà AH=12cm

nênMN=12cm

Ta có: ΔANM vuông tại A

=>\(AN^2+AM^2=NM^2\)

=>\(AN^2+9,6^2=12^2\)

=>AN=7,2(cm)

Xét ΔIMA vuông tại I và ΔAMN vuông tại A có

\(\widehat{IMA}\) chung

Do đó: ΔIMA đồng dạng với ΔAMN

=>\(\dfrac{S_{IMA}}{S_{AMN}}=\left(\dfrac{AM}{MN}\right)^2=\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}\)

=>\(S_{IMA}=\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AM\cdot AN=22,1184\left(cm^2\right)\)

a: Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>AMHN là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AHKC có

I là trung điểm chung của AK và HC

=>AHKC là hình bình hành

=>AC//KH

c: Ta có: AC//HK

AC//HM

HK,HM có điểm chung là H

Do đó: K,H,M thẳng hàng

Ta có: AMHN là hình chữ nhật

=>\(\widehat{NAH}=\widehat{NMH}\)

mà \(\widehat{NAH}=\widehat{CKH}\)(AHKC là hình bình hành)

nên \(\widehat{NMH}=\widehat{CKH}\)

Xét tứ giác MNCK có CN//MK

nên MNCK là hình thang

Hình thang MNCK có \(\widehat{CKM}=\widehat{NMK}\)

nên MNCK là hình thang cân

d: Ta có: AMHN là hình chữ nhật

=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và MN

Xét ΔCAH có

CO,AI là các đường trung tuyến

CO cắt AI tại D

Do đó: D là trọng tâm của ΔCAH

=>\(AD=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AK=\dfrac{1}{3}AK\)

=>AK=3AD

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100\)

=>\(BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>AH=48/10=4,8(cm)

b: Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>AMHN là hình chữ nhật

=>MN=AH

mà AH=4,8cm

nên MN=4,8cm

a) Để tính BC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:

BC^2 = AB^2 + AC^2

BC^2 = 6^2 + 8^2

BC^2 = 36 + 64

BC^2 = 100

BC = √100

BC = 10 cm

Để tính AH, ta sử dụng công thức diện tích của tam giác:

S = 1/2 * AB * AH

S = 1/2 * 6 * AH

S = 3AH

Vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên diện tích tam giác ABC cũng có thể tính bằng cách sử dụng công thức diện tích tam giác vuông:

S = 1/2 * AB * AC

S = 1/2 * 6 * 8

S = 24

Vậy, ta có phương trình:

3AH = 24

AH = 8 cm

b) Để tính MN, ta sử dụng tỷ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác đồng dạng. Ta có:

MN/BC = HM/AB = HN/AC

Vì HM và HN là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:

HM = AH = 8 cm

HN = AH = 8 cm

Vậy, ta có:

MN/10 = 8/6

MN = (8/6) * 10

MN = 80/6

MN ≈ 13.33 cm

a, \(\Delta ABC,\hat{BAC}=90^o\)

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)(định lý Py-ta-go)

\(\Leftrightarrow10^2=6^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=64\)

\(\Leftrightarrow AC=8\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào \(\Delta ABC, \hat{BAC}=90^o, AH\perp BC\) ta có:

\(AB^2=BH.BC\Leftrightarrow6^2=BH.10\Leftrightarrow BH=3,6\left(cm\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{25}{576}\)\(\Leftrightarrow AH^2=\frac{576}{25}\Leftrightarrow AH=4,8\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác ABC: 6 + 10 + 8 = 24 (cm)

Diện tích tam giác ABC: \(\frac{4,8.10}{2}=24\left(cm^2\right)\)

2 câu kia mình nghĩ sau

Mình tạm làm câu c trước, câu b mình chưa nghĩ ra

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào \(\Delta AHB, \hat{AHB}=90°, HM \perp AB\) và \(\Delta AHC, \hat{AHC}=90°, HN \perp AC\) ta có:

\(AH^2=AM.AB\) (1)

\(AH^2= AN.AC\) (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\)AM.AB = AN.AC

a: ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên AM*MB=HM^2

ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên AN*NC=NH^2

Xét tứ giác AMHN có

góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ

=>AMHN là hình chữ nhật

=>MN^2=HM^2+HN^2

=AM*MB+AN*NC

b: ΔABC vuông tạiA có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB\)

=>\(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{BH}{CH}\)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHBA

b: BC=10cm

AH=4,8cm

c: Xét ΔABH vuông tại H có HM là đườg cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

hay AM/AC=AN/AB

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

AM/AC=AN/AB

Do đó: ΔAMN\(\sim\)ΔACB

\(a)\) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA:\)

\(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^o\right).\\ \widehat{ABC}chung.\\ \Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HBA\left(g-g\right).\)

\(b)\) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A: