Nếu một trong các số \(x+y-z;y+z-x;z+x-y\) bằng 0 thì cả 3 số đều bằng 0 và dẫn đến \(x=y=z=0\), mâu thuẫn

Từ giả thiết ta có : \(\begin{cases}x\log y\left(y+z-x\right)=y\log x\left(z+x-y\right)\\y\log z\left(z+x-y\right)=z\log y\left(x+y-z\right)\\z\log x\left(x+y-z\right)=x\log z\left(y+z-x\right)\end{cases}\)

Xét đẳng thức thứ nhất ta có :

                                               \(x\log y\left(y+z-x\right)=y\log x\left(z+x-y\right)\Leftrightarrow x\log y=y\log x.\frac{z+x-y}{y+z-x}\)                                                               \(\Leftrightarrow x\log y+y\log x=y\log x\left(\frac{z+x-y}{y+z-x}+1\right)\Leftrightarrow x\log y+z\log x=y\log x\frac{2z}{y+z-x}\)

Biến đổi tương tự với đẳng thức thứ hai ta có :

                                             \(y\log z+z\log y=z\log y\frac{2z}{z+z-y}\)

Ta thấy rằng : \(x^y.y^x=y^z.z^y\Leftrightarrow x\log y+y\log x=y\log z+z\log y\)

Do đó ta cần có :

                    \(y\log x\frac{2z}{y+z-x}=z\log y\frac{2z}{z+x-y}\Leftrightarrow y\log x\left(z+x-y\right)=x\log y\left(y+z-x\right)\), đúng

Do đó ta được : \(x^yy^x=y^z.z^y\)

Chứng minh tương tự ta có : \(y^zz^y=z^x.x^z\)

=> Điều phải chứng minh

\(x+y+z=6\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z\right)^2=36\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=36\)

\(\Leftrightarrow\)\(2xy+2yz+2zx=24\)

\(\Leftrightarrow\)\(2xy+2yz+2zx=2x^2+2y^2+2z^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z}\)

Mà \(x+y+z=6\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z=\frac{6}{3}=2\)

Vậy \(x=y=z=2\)

Chúc bạn học tốt ~ 

ĐK: x + y + z = 6; \(x^2+y^2+z^2=12\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số (1;1;1) và (x;y;z).Ta có:

\(\left(1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

Thay \(x+y+z=6\) và ta có:

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge36\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge12\) (tmđk)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{6}{3}=2\) (*)

Từ (*) suy ra  x=y=z=2

Theo bất đẳng thức 3 biến đối xứng thì ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z

Mà ta thấy: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=x^2+y^2+z^2=12\)

\(\Rightarrow x=y=z=2\)

Vậy x = y = z = 2

tớ  chưa học bđt

tớ làm được cách khác rồi nha các bạn . tớ cám ơn mn đã dành thời gian để trả lời câu hỏi này

-Có |x| lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi y => y-2017 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi y => y lớn hơn hoặc bằng 2017

-Có |y| lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi z => z-2017 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi z => z lớn hơn hoặc bằng 2017

-Có |z lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x => x-2017 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x => x lớn hơn hoặc bằng 2017

=> |x| = y-2017=x => y-x=2017

=> |y| = z-2017=y => z-y=2017

=> |z| = x-2017=z => x-z=2017

=> y-x+z-y+x-z=2017

=> 0=2017 (vô lý)

=> Không có x;y;z thoả mãn

k nha

==" tớ cx làm thế đấy trang ơi, như bạn Sherry kìa, nhưng tiếc là T^T thiếu dấu bằng x lớn hơn hoặc bằng (= =+) thế là khỏi có điểm

Áp dụng bđt bunhia cho 2 bộ số (1 ; 1 ; 1) và (x ; y ; z) ta có: 

(1 + 1 + 1).(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)² 

<=> 3(x² + y² + z²) ≥ 36 < do x+y+z=6 theo đề bài > 

<=> x² + y² + z² ≥ 12 => đpcm 

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2 

----------------------------- 

2) xy/z + yz/x + zx/y ≥ x + y + z với x,y,z là các số thực dương 

Áp dụng bđt cô si cho 2 số thực dương ta có: 

xy/z + yz/x ≥ 2y 
yz/x + zx/y ≥ 2z 
xy/z + zx/y ≥ 2x 

Cộng vế với vế 3bđt trên ta được : 

xy/z + yz/x + zx/y ≥ x + y + z => đpcm 

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z 

----------------------------------- 

3) x² + 5y² - 4xy + 2x - 6y +3 > 0 với mọi x , y 

<=> (x² - 4xy + 4y²) + (2x - 4y) + 1 + (y² -2y + 1) + 1 > 0 

<=> [(x - 2y)² + 2(x - 2y) + 1] + (y - 1)² + 1 > 0 

<=> (x - 2y + 1)² + (y - 1)² + 1 > 0 => luôn đúng với mọi x,y 

=> đpcm 

Vì x+y+z=6 và \(x^2+y^2+z^2=12\)

Ta có \(x^2+y^2+z^2-x+y+z=12-6\)

Rút gọn: \(x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)=6\)

=> \(x+y+z=x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)\)

Tìm x \(\Rightarrow x\left(x-1\right)=x\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2\)

Tìm y \(\Rightarrow y\left(y-1\right)=y\Rightarrow y-1=1\Rightarrow y=2\)

Tìm z \(\Rightarrow z\left(z-1\right)=z\Rightarrow z-1=1\Rightarrow z=2\)

Vậy \(x=y=z=2\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=12\\x+y+z=6\end{cases}}\)

Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=36\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=36\)

\(\Leftrightarrow12+2xy+2yz+2xz=36\)

\(\Leftrightarrow2xy+2yz+2xz=24\Leftrightarrow xy+yz+xz=12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz=12\)

Mặt khác ta có \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z\)

Vậy \(x=y=z=2\)

Bài bn Trần Hữu Minh đúng rùi