Không mất tính tổng quát giả sử a >= b. 

Đặt a^2 + 3b = x^2 (x thuộc N) và b^2 + 3a = y^2 (y thuộc N)

Ta có : x^2 = a^2 + 3b <= a^2 + 3a < a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2  (Do a thuộc N)

=> x^2 < (a+2)^2     (1)

Lại có : x^2 = a^2 + 3b >=  a^2  (Do b thuộc N)

=> x^2 >= a^2          (2)

Từ (1) và (2) suy ra a^2 <= x^2 < (a+2)^2  nên x^2 = a^2 hoặc x^2 = (a+1)^2.

+) TH1 : x^2 = a^2 

<=> a^2 + 3b = a^2   <=> b = 0

Mà b^2 + 3a = y^2 nên 3a = y^2 

=> y^2 chia hết cho 3  =>  y chia hết cho 3  =>  y = 3k (k thuộc N) 

Khi đó 3a = 9k^2  <=> a = 3k^2.

Nghiệm (a,b) = (3k^2 , 0) với k thuộc N là một nghiệm của bài toán.

+) TH2 : x^2 = (a+1)^2

<=> a^2 + 3b = a^2 + 2a + 1

<=> 3b = 2a + 1 là số lẻ nên b là số lẻ.  Đặt b = 2m+1 (m thuộc N)

=> 6m + 3 = 2a + 1  <=>  a = 3m + 1

Vì b^2 + 3a = y^2 nên (2m+1)^2 + 3.(3m+1) = y^2

<=> 4m^2 + 13m + 4 = y^2 

<=> 64m^2 + 208m + 64 = 16y^2

<=> (8m + 13)^2 - (4y)^2 = 105

<=> (8m + 4y + 13)(8m - 4y + 13) = 105

Đến đây bạn dùng phương pháp tích ước số giải tiếp nha.

2:

a: =>a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2<=0

=>-(a^2-2ab+b^2)<=0

=>(a-b)^2>=0(luôn đúng)

b; =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2<=0

=>-(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)<=0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$C^2\leq (a+b)[(29a+3b)+(29b+3a)]=32(a+b)^2$

$(a+b)^2\leq (a^2+b^2)(1+1)\leq 4$

$\Rightarrow C^2\leq 32.4$

$\Rightarrow C\leq 8\sqrt{2}$
Vậy $C_{\max}=8\sqrt{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

\(M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2001\)

\(\Rightarrow2M=2a^2+2ab+2b^2-6a-6b+4002\)

\(=\left[\left(a+b\right)^2-2\left(a+b\right).2+4\right]+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+3996\)

\(=\left(a+b-2\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+3996\ge3996\)

\(\Rightarrow M\ge1998\)

\(minM=1998\Leftrightarrow a=b=1\)