a)Giả sử điểm K thỏa mãn:
\(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{BA}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}\).
Xác định: \(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}\).

Lấy điểm D sao cho B là trung điểm của DC.
\(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}\).
Điểm K xác định sao cho : \(\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{AD}\) hay tứ giác AKBD là hình bình hành.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{MG}\)\(+2\overrightarrow{GC}\)
\(=4\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\overrightarrow{GC}\)
\(=4\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\).
Giả sử điểm M thỏa mãn:
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow4\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MG}=\dfrac{\overrightarrow{CG}}{4}\).
Điểm M được xác định để \(\overrightarrow{MG}=\dfrac{\overrightarrow{CG}}{4}\).

Gọi T là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GT}\).
Vì vậy điểm M được xác định là trung điểm của GT.

Gọi G là trọng tâm ΔABC

⇒ VT = 6MG

VP  = \(\left|2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}\right|\)

VP = \(\left|6\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{AC}\right|\)

Xác định điểm I sao cho \(6\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\) (cái này chắc bạn làm được)

VP = \(\left|6\overrightarrow{MI}+6\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AC}\right|\)

VP = 6 MI

Khi VT = VP thì MG = MI

⇒ M nằm trên đường trung trực của IG

Tập hợp các điểm M : "Đường trung trực của IG"

Gọi O là tâm hình chữ nhật

\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=k\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right|=k\)

\(\Leftrightarrow4\left|\overrightarrow{MO}\right|=k\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{MO}\right|=\frac{k}{4}\Rightarrow\) M thuộc đường tròn tâm O bán kính \(\frac{k}{4}\)

Ta có:

\(\vec{AN}=\vec{AM}+\vec{MN}\)

\(=\dfrac{2}{3}\vec{AC}+\dfrac{1}{4}\vec{MB}\)

\(=\dfrac{2}{3}\vec{AC}+\dfrac{1}{4}\left(\vec{AB}-\vec{AM}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\vec{AB}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}\)

\(\vec{AP}=\vec{AC}+\vec{CP}\)

\(=\vec{AC}+\dfrac{1}{k+1}\vec{CB}\)

\(=\vec{AC}+\dfrac{1}{k+1}\left(\vec{AB}-\vec{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{k+1}\vec{AB}+\dfrac{k}{k+1}\vec{AC}\)

A, N, P thẳng hàng khi:

\(\dfrac{\dfrac{k}{k+1}}{\dfrac{1}{k+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{4}}\Leftrightarrow k=2\)

Kết luận: \(k=2\)

Vecto KI= -vecto KC k là trung điểm m thuộc đoạn AK m bằng k MK=1/3AK

Lời giải:

a.

\(|\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{BA|}\)

Tập hợp điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $C$ đường bán kính $AB$

b. Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Khi đó:

\(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}|\)

\(=|2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}|=|2\overrightarrow{MI}|=0\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=0\Leftrightarrow M\equiv I\)

Vậy điểm $M$ là trung điểm của $AB$

c.

Trên tia đối của tia $CA$ lấy $K$ sao cho $KC=\frac{1}{3}CA$

\(|\overrightarrow{MA}|=2|\overrightarrow{MC}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}|=2|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KC}|=|2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KC}|\)

\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KC})^2=(2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KC})^2\)

\(\Leftrightarrow MK^2+16KC^2=4MK^2+4KC^2\)

\(\Leftrightarrow 12KC^2=3MK^2\Leftrightarrow MK=2KC=\frac{2}{3}AC\)

Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $K$ bán kính $\frac{2}{3}AC$

d.
Gọi $I$ là trung điểm $BC$

\(|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}|=|\overrightarrow{CB}|\)

\(\Leftrightarrow |2\overrightarrow{MI}|=|\overrightarrow{CB}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=\frac{|\overrightarrow{CB}|}{2}\)

Vậy điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{BC}{2}$
 

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MB}\Leftrightarrow\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BM}\)

Vậy M là điểm sao cho tứ giác ACBM là hình bình hành.