Ta thấy: k thuộc N^* nên \(\sqrt{k+1}>\sqrt{k}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{2}{\left(2\sqrt{k+1}\right).\left(\sqrt{k+1}.\sqrt{k}\right)}< \frac{2}{\left(\sqrt{k+1}.\sqrt{k}\right).\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(\sqrt{k+1}.\sqrt{k}\right)\left(k+1-k\right)}=2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)(đpcm).

Đặt \(\sqrt{2}+1=a\Rightarrow\sqrt{2}-1=\frac{1}{a}\)

\(\Rightarrow S_k=a^k+\frac{1}{a^k}\) ; \(S_{k+1}=a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}\) ;

\(S_1=a+\frac{1}{a}=\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow S_k.S_{k+1}=\left(a^k+\frac{1}{a^k}\right)\left(a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}\right)\)

\(=a^k.a^{k+1}+\frac{a^k}{a^{k+1}}+\frac{a^{k+1}}{a^k}+\frac{1}{a^k.a^{k+1}}\)

\(=a^{2k+1}+\frac{1}{a^{2k+1}}+a+\frac{1}{a}\)

\(=S_{2k+1}+S_1=S_{2k+1}+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow S_k.S_{k+1}-S_{2k+1}=2\sqrt{2}\)

Thay \(k=2009\) vào ta được:

\(S_{2009}.S_{2010}-S_{4019}=2\sqrt{2}\) (đpcm)

LƯU Ý

Các bạn học sinh KHÔNG ĐƯỢC đăng các câu hỏi không liên quan đến Toán, hoặc các bài toán linh tinh gây nhiễu diễn đàn. Online Math có thể áp dụng các biện pháp như trừ điểm, thậm chí khóa vĩnh viễn tài khoản của bạn nếu vi phạm nội quy nhiều lần.

Chuyên mục Giúp tôi giải toán dành cho những bạn gặp bài toán khó hoặc có bài toán hay muốn chia sẻ. Bởi vậy các bạn học sinh chú ý không nên gửi bài linh tinh, không được có các hành vi nhằm gian lận điểm hỏi đáp như tạo câu hỏi và tự trả lời rồi chọn đúng.

Mỗi thành viên được gửi tối đa 5 câu hỏi trong 1 ngày

Các câu hỏi không liên quan đến toán lớp 1 - 9 các bạn có thể gửi lên trang web h.vn để được giải đáp tốt hơn.

PHải là k chứ

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{2}+1\\y=\sqrt{2}-1\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}xy=1\\x+y=2\sqrt{2}\end{cases}}\)

Ta có \(S_{2009}.S_{2010}=\left(x^{2009}+y^{2009}\right)\left(x^{2010}+y^{2010}\right)=\left(x^{4019}+y^{4019}\right)+\left(xy\right)^{2009}\left(x+y\right)\)

\(=S_{4019}+2\sqrt{2}\)

=> \(S_{2009}.S_{2010}-S_{4019}=2\sqrt{2}\)(dpcm)

trôi

Ta có:

\(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}-2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1-2k-2+2\sqrt{k\left(k+1\right)}}{\sqrt{k}\left(k+1\right)}< 0\)

Lại có: \(k>0\)

\(\Rightarrow k+1>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{k}\left(k+1\right)>0\)

\(\Rightarrow-1-2k+2\sqrt{k\left(k+1\right)}< 0\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(k+\left(k+1\right)\ge2\sqrt{k\left(k+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow2k+1\ge2\sqrt{k\left(k+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{k\left(k+1\right)}-2k-1\le0\forall k>0\)

Vậy \(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)

Đề là \(S_{2009}.S_{2010}\) chứ

Đặt \(\sqrt{2}+1=a;\sqrt{2}-1=b\Rightarrow ab=1\)

Ta có: \(S_{2009}.S_{2010}=\left(a^{2009}+b^{2009}\right)\left(a^{2010}+b^{2010}\right)\)

\(=a^{2009}.a^{2010}+b^{2009}.a^{2010}+a^{2009}.b^{2010}+b^{2009}.b^{2010}\)

\(=a^{2009}.b^{2009}\left(a+b\right)+a^{4019}+b^{4019}\)

\(=1.2\sqrt{2}+S_{4019}=S_{4019}+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow S_{2009}.S_{2010}-S_{4019}=2\sqrt{2}\)