Cho x,y > 0 va x + y = 1. CMR: 8\(\left(x^4+y^4\right)\) + \(\frac{1}{xy}\) ≥ 5
Những câu hỏi liên quan
Cho x,y>0. Tìm min M = \(8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{y^5}+\frac{1}{x^2y^2}-\frac{40}{xy}\)
cho x, y >0 thỏa mãn \(x+y\le1\)
Cmr: \(8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{xy}\ge5\)
cho x;y;z>0 xyz=1
CMR: \(\left(\frac{x}{1+xy}\right)^2+\left(\frac{y}{1+yz}\right)^2+\left(\frac{z}{1+zx}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)
Đây mà là tiếng việt lớp 3 à
\(CMR:\frac{3\left(x^3+y^3+z^3\right)}{4\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)
(x,y,z>0)
giải hệ phương trình
1 , left{{}begin{matrix}left(x+yright)left(x-1right)left(x-yright)left(x+1right)+2xyleft(y-xright)left(y-1right)left(y+xright)left(y-2right)-2xyend{matrix}right.
2, left{{}begin{matrix}2left(frac{1}{x}+frac{1}{2y}right)+3left(frac{1}{x}-frac{1}{2y}right)^29left(frac{1}{x}+frac{1}{2y}right)-6left(frac{1}{x}-frac{1}{2y}right)^2-3end{matrix}right.
3 , left{{}begin{matrix}frac{xy}{x+y}frac{2}{3}frac{yz}{y+z}frac{6}{5}frac{zx}{z+x}frac{3}{4}end{matrix}right.
4 , left{{}begin...
Đọc tiếp
giải hệ phương trình
1 , \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)\left(x-1\right)=\left(x-y\right)\left(x+1\right)+2xy\\\left(y-x\right)\left(y-1\right)=\left(y+x\right)\left(y-2\right)-2xy\end{matrix}\right.\)
2, \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}\right)+3\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}\right)^2=9\\\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}\right)-6\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}\right)^2=-3\end{matrix}\right.\)
3 , \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=\frac{2}{3}\\\frac{yz}{y+z}=\frac{6}{5}\\\frac{zx}{z+x}=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\)
4 , \(\left\{{}\begin{matrix}2xy-3\frac{x}{y}=15\\xy+\frac{x}{y}=15\end{matrix}\right.\)
5 , \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3xy=5\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\)
6 , \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=11\\x^2+y^2+3\left(x+y\right)=28\end{matrix}\right.\)
7, \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\\x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4\end{matrix}\right.\)
8, \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=11\\xy\left(x+y\right)=30\end{matrix}\right.\)
9 , \(\left\{{}\begin{matrix}x^5+y^5=1\\x^9+y^9=x^4+y^4\end{matrix}\right.\)
cho x,y>0 và x + y <= 1. CMR
\(8\left(x^4+y^4\right)+\dfrac{1}{xy}\ge5\)
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\ge\frac{1}{\frac{1}{4}}=4\)
Do đó BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow8\left(x^4+y^4\right)+4\ge5\)
Ta cần chứng minh BĐT sau là đủ : \(8\left(x^4+y^4\right)\ge1\)
Thật vậy: Áp dụng BĐT Cô-si :
\(x^4+\frac{1}{16}\ge\frac{x^2}{2};y^4+\frac{1}{16}\ge\frac{y^2}{2}\)
Cộng vế : \(x^4+y^4+\frac{1}{8}\ge\frac{x^2+y^2}{2}\ge\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}{2}\ge\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4\ge\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow8\left(x^4+y^4\right)\ge1\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn x>0, y<0, x+y=1
a, Rút gọn biểu thức \(A=\frac{y-x}{xy}:\left(\frac{y^2}{\left(x-y\right)^2}-\frac{2x^2y}{\left(x-y\right)^2}+\frac{x^2}{y^2-x^2}\right)\)
b, CMR A<-4
cho x,y>0
CMR \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)(đpcm)
Ta có vì : x,y > 0
và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Từ đề bài ta có:
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}.\left(x+y\right).xy\ge\frac{4}{x+y}.xy\left(x+y\right)\)
Áp dụng đẳng thức Cô-si:
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy....
đpcm.
\(\hept{\begin{cases}xy-3x-y+4=0\\\frac{\left(xy^3-y^2-8x\right)\left(5y-xy\right)}{\left(\sqrt{x-1}+2\right)\left(x^4+x^3+8\right)}=\sqrt{x-1}-2\end{cases}}\)