Nhờ mọi người giải giúp mình với
Bài 1: cho a+b=c+d và a^3+b^3=c^3+d^3 chứng minh rằng a^2019+b^2019=c^2019+d^2019
Bài 2: chứng minh rằng nếu a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3 thì a^2013+b^2013+c^2013 = (a+b+c)^2013
1. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 thỏa mãn a+b = c+d và a3+b3 = c3+d3. Chứng minh rằng:
a2019+b2019 = c2019+d2019
Tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của Nguyen ANhh - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
Bài 1: a) Chứng minh với n là số tự nhiên thì A = 3n+3 + 5n+3 + 3n+1 + 5n+2 chia hết cho 60
b) Chứng minh rằng nếu a/b = c/d thì [(a-b)/(c-d)]^2013 = (a^2015 + b^2015)/(c^2015 + d^2015)
cho a,b,c,d ≠ 0 thỏa mãn a+b = c+d và a3 + b3 = c3 +d3
Chứng minh a2019 + b2019 = c2019 + d2019
Lời giải:
\(a^3+b^3=c^3+d^3\)
$\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)=(c+d)^3-3cd(c+d)$
Mà $a+b=c+d$ nên $ab(a+b)=cd(c+d)$
Đến đây ta xét 2TH:
TH $a+b=c+d=0$ thì $a^{2019}+b^{2019}=c^{2019}+d^{2019}=0$ (đpcm)
TH $a+b=c+d\neq 0$ thì $ab=cd\Leftrightarrow \frac{a}{d}=\frac{c}{b}$
Đặt $\frac{a}{d}=\frac{c}{b}=t\Rightarrow a=dt; c=bt$
Khi đó:
$a+b=c+d$
$\Leftrightarrow dt+b=bt+d\Leftrightarrow (t-1)(d-b)=0$
Nếu $t-1=0\Rightarrow a=d; c=b$
$\Rightarrow a^{2019}=d^{2019}; b^{2019}=c^{2019}$
$\Rightarrow a^{2019}+b^{2019}=c^{2019}+d^{2019}$ (đpcm)
Nếu $d-b=0\Leftrightarrow b=d\Rightarrow a=c$
$\Rightarrow a^{2019}+b^{2019}=c^{2019}+d^{2019}$ (đpcm)
Vậy..........
Cho a,b,c,d thỏa mãn a+b=c+d; \(a^2\)+\(b^2\)=\(c^2\)+\(d^2\)
Chứng minh rằng \(a^{2013}\)+\(b^{2013}\)+\(c^{2013}\)+\(d^{2013}\)
Cho a, b, c thỏa mãn \(a+b+c=0\) ; \(a^2+b^2+c^2=1\); \(a^3+b^3+c^3=1\)
Chứng minh rằng \(a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\)
Cho \(a,b,c\ne0\)và \(a+b+c\ne0\)thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\).Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có 2 số đối nhau. Từ đó suy ra \(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}\)
Giúp mình với!!!!
EM tham khảo phần đầu ở link: Câu hỏi của Đinh Nguyến Nhật Minh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Trong 3 số a,b, c có hai số đối nhau g/s 2 số đó là a và b kho đó a=-b
=> \(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=-\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\)
và \(\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{-b^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\)
Do đó: \(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}\)
Chứng minh rằng nếu a+b+c=2019 và a,b,c thuộc Z thì a^3+b^3+c^3 chia hết cho 6.
Bạn xem lại đề bài. Nếu $a,b,c$ là 3 số lẻ thì $a^3+b^3+c^3$ lẻ nên không thể chia hết cho $6$
Cho a3+b3+c3=3abc với a,b,c khác 0 và a+b+c=0
Tính P=(2019+a/b)(2019+b/c)(2013+c/a)
Lời giải:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\)
Vì $a+b+c\neq 0$ nên $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
Vì $(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
$\Rightarrow (a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$
$\Leftrightarrow a=b=c$
Do đó:
\(P=\left(2019+\frac{a}{b}\right)\left(2019+\frac{b}{c}\right)\left(2019+\frac{c}{a}\right)\)
\(=(2019+1)(2019+1)(2019+1)=2010^3\)
Lời giải:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\)
Vì $a+b+c\neq 0$ nên $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
Vì $(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
$\Rightarrow (a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$
$\Leftrightarrow a=b=c$
Do đó:
\(P=\left(2019+\frac{a}{b}\right)\left(2019+\frac{b}{c}\right)\left(2019+\frac{c}{a}\right)\)
\(=(2019+1)(2019+1)(2019+1)=2010^3\)
giúp mình câu này nhé mọi n:
1:chứng minh với mọi n thuộc N* thì n^3 +n+2 là hợp số
2: cho a^2 +b^2+c^2=a^3+b^3+c^3+1. Tính S=a^2+b^2012 +c^2013
muốn nhanh hải từ từ chứ! :D
1. Vì $n^3$ và $n$ cùng tính chẵn lẻ nên\(n^3+n+2\) chia hết cho 2.
2. Chắc đề là a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1.
\(<1>\) Ta có:
\(n^3+n+2=\left(n^3+1\right)+n+1=\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)+n+1=\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)
Vợi mọi \(n\in N^{\text{*}}\) thì \(n+1>0\) và \(n^2-n+2>0\)
Vậy, \(n^3+n+2\) là một hợp số.
\(<2>\) Từ giả thiết đã nêu trên, ta có:
\(a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3\) \(\left(=1\right)\)
nên \(a^3+b^3+c^3-\left(a^2+b^2+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^3-a^2+b^3-b^2+c^3-c^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(^{a=b=c=1}_{a=b=c=0}\) (dùng dấu ngoặc vuông nhé)
Kết hợp với giả thiết, ta suy ra \(a,b,c\) nhận hai giá trị là \(0\) và \(1\)
Do đó, \(b^{2012}=b^2;\) \(c^{2013}=c^2\)
Vậy, \(S=a^2+b^{2012}+c^{2013}=a^2+b^2+c^2=1\)