Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) thỏa mãn OA = 3R, kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn, M và N là hai tiếp điểm. Qua E thuộc cung nhỏ MN, kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn (O) cắt AM, AN lần lượt tại H và K. Tính chu vi tam giác AHK theo R. (gợi ý: Tính độ dài AM, AN theo R)
Cho đường tròn tâm (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn, từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn. Cát tuyến từ A cắt đường tròn tại B và C ( B nằm giữa A và C) . Gọi I là trung điểm của BC.
a/ C/m A,M,I,O,N nằm trên một đường tròn.
b/ Một đường thẳng qua B song song với AM cắt MN và MC lần lượt tại E và F. C/m tứ giác BENI nối tiếp và E là trung điểm của BF.
Cho đường tròn tâm (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ tiếp tuyến MA,MB với (O). Trên cung nhỏ AB lấy điểm C bất kì, từ C kẻ tiếp tuyến thứ ba với (O) cắt MA,MB lần lượt tại E,F. EO cắt AC tại H,FO cắt BC tại K. Qua O kẻ đường thằng song song với AB cắt MA,MB lần lượt tại P,Q
a) Chứng minh tứ giác BFCO nội tiếp
b)Chứng minh OE.OH=OF.OK và góc EOP=góc OFQ
c) Chứng minh\(EP+EQ\ge PQ\)
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn (M là tiếp điểm). Kẻ dây MN vuông góc với AO tại H. Kẻ đường thẳng đi qua A cắt đường tròn tại B,C(điểm B nằm giữa A và C). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K, gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh 4 điểm B,C,O,K cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Chứng minh OI.OK=ON² d) Chứng minh M,N,K thẳng hàng.
a: Xét tứ giác OBKC có \(\widehat{OBK}+\widehat{OCK}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBKC là tứ giác nội tiếp
=>O,B,K,C cùng thuộc một đường tròn
b: Ta có: ΔOMN cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác của góc MON
Xét ΔMOA và ΔNOA có
OM=ON
\(\widehat{MOA}=\widehat{NOA}\)
OA chung
Do đó: ΔMOA=ΔNOA
=>\(\widehat{OMA}=\widehat{ONA}\)
=>\(\widehat{ONA}=90^0\)
=>AN là tiếp tuyến của (O)
c: Xét (O) có
KB,KC là tiếp tuyến
Do đó: KB=KC
=>K nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OK là đường trung trực của BC
=>OK\(\perp\)BC tại I và I là trung điểm của BC
Xét ΔOBK vuông tại B có BI là đường cao
nên \(OI\cdot OK=OB^2\)
=>\(OI\cdot OK=ON^2\left(3\right)\)
d: Xét ΔNOA vuông tại N có NH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=ON^2\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(OI\cdot OK=OH\cdot OA\)
=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\)
Xét ΔOIA và ΔOHK có
\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\)
\(\widehat{HOK}\) chung
Do đó: ΔOIA đồng dạng với ΔOHK
=>\(\widehat{OIA}=\widehat{OHK}\)
=>\(\widehat{OHK}=90^0\)
mà \(\widehat{OHM}=90^0\)
nên K,H,M thẳng hàng
mà M,H,N thẳng hàng
nên K,M,N thẳng hàng
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) , kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC ( BC là tiếp điểm ) . Trên nửa mp bờ là đường thằng AO chứa điểm B vẽ cát tuyến AMN với đường tròn (O) ( AM < AN ) , Mn không đi qua tâm O ) . Gọi I là trung điểm của MN
a) CHứng minh t/g AIOC nội tiếp
b) Gọi H là giao điểm của AO và BC
Chứng minh : AH . AO = AM . AN và t/g MNOC nội tiếp
c) Qua M kẻ đường thẳng song song Bn cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F . Chứng minh M là trung điểm của EF
Tạm câu c) làm sau :<
từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (o) kẻ tiếp tuyến AM,AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm).đường thẳng (d) qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm của BC.
a)chứng minh các điểm O,H,M,A,N cùng nằm trên một đường tròn.
b)chứng minh HA là phân giác của góc MHN.
c)lấy điểm E trên MN sao cho BE song song với AM.Chứng minh HE//CM.
Cho đường tròn (O,R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O)> Vẽ tiếp tuyến AM , AN với (O) .Đường thẳng chứa đường kính của đường tròn song song với MN cắt AM tại B , cắt AN tại C. chứng minh rằng
a) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMN với I là giao điểm của AO với (O)
b) tứ giác MNCB là hình thang cân
c) MA.MB=R2
d) lấy D thuộc cung nhỏ MN . Vẽ tiếp tuyến qua D của (O) cắt AM,AN lần lượt tại P và Q . chứng minh BP.CQ=BC2/4
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O),kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn(M là tiếp điểm). Kẻ dây MN vuông góc với AO tại H. Kẻ cát tuyến ABC với đường tròn( điểm B nằm giữa A và C). a)CM: AN là tiếp tiếp tuyến. b)Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K, gọi I là trung điểm của BC. CM:OI.OK=ON.ON(ON bình) và 3 điểm K,H,N thẳng hàng
a: Ta có: ΔOMN cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác củagóc MON
Xét ΔOMA và ΔONA có
OM=ON
góc MOA=góc NOA
OA chung
Do đó: ΔOMA=ΔONA
=>góc ONA=90 độ
=>AN là tiếp tuyến của (O)
b: Xét (O) có
KC,KB là tiếp tuyến
nên KC=KB
=>K năm trên trung trực của BC(1)
ΔOBC cân tại O
mà OI là trung tuyến
nên OI là trung trực của BC(2)
Từ (1), (2) suy ra O,I,K thẳng hàng
=>OK vuông góc với BC tại I
=>OI*OK=OB^2=ON^2
cho đường trong O và điểm M nằm ngoài đường trong .Từ M kẻ 2 tiếp tuyến với (O) có tiếp điểm là A,B.Đoạn thẳng MO cắt (O) và AB lần lượt tại K và I .Trên cung nhỏ AK lấy C ,tia MC cắt (O) tại D.Chứng minh rằng .Góc AIC=góc CBD
